Формулы решения Диофантовых уравнений

Разговоры на отвлеченные темы

Модераторы: morozov, mike@in-russia

Аватара пользователя
individ
Сообщения: 1777
Зарегистрирован: Вс июн 08, 2014 19:15

Формулы решения Диофантовых уравнений

Номер сообщения:#1   individ » Пн июн 09, 2014 13:31

Я хотел бы рассказать о возможности решения Диофантовых уравнений и их систем.
Это такая возможность решать неопределённые алгебраические уравнения - чтоб находить решения в целых числах.
В России рассказывать на форумах о таких решениях занятие не благодарное, постоянно всё стирают и блокируют, но надеюсь, что тут будут давать возможность хоть некоторое время рисовать формулы.
Но я всё равно попробую.
Первое время возникла необходимость решить одно уравнение при заданных коэффициентов - ну а потом просто стало интересно решать такие уравнения. Так, что не буду рассуждать зачем всё это надо, а буду просто решать.
Начну пожалуй с самого знаменитого уравнения - уравнения Лежандра:
Можно взять практическую любую книжку по теории чисел и попытаться эти формулы там найти. Условие существования решения - озвученные ещё Лежандром - такие же, что и мои условия. Только я написал ещё формулы.
Все коэффициенты при уравнении целые.

Значит так. Уравнение aX^2+bXY+cY^2=jZ^2

Будет иметь решение если хоть один корень целый: \sqrt{j(a+b+c)} , \sqrt{b^2 + 4a(j-c)} , \sqrt{b^2+4c(j-a)}

Для случая когда корень \sqrt{j(a+b+c)} целый формулу решения можно записать:

\[X=(2j(b+2c)^2-(b^2+4c(j-a))(j\pm\sqrt{j(a+b+c)}))s^2+2(b+2c)(\sqrt{j(a+b+c)}\mp{j})sp+(j\mp \sqrt{j(a+b+c)})p^2\]

\[Y=(2j(2j-b-2a)(b+2c)-(b^2+4c(j-a))(j\pm\sqrt{j(a+b+c)}))s^2+2((2j-2a-b)\sqrt{j(a+b+c)}\mp{j(b+2c)})sp+(j\mp\sqrt{j(a+b+c)})p^2\]

\[Z=(2j(b+2c)^2-(b^2+4c(j-a))(a+b+c\pm\sqrt{j(a+b+c)}))s^2+2(b+2c) ( \sqrt{j(a+b+c)} \mp{j})sp + ( a + b + c \mp \sqrt{j(a+b+c)})p^2\]

Для случая когда корень \sqrt{b^2+4c(j-a)} целый, решения можно записать:

\[X=((2j-b-2c)(8ac+2b(2j-b))-(b^2+4a(j-c))(b+2c\mp\sqrt{b^2+4c(j-a)}))s^2+2(4ac+b(2j-b)\pm{(2j-b-2c)}\sqrt{b^2+4c(j-a)})sp+(b+2c\pm\sqrt{b^2+4c(j-a)})p^2\]

\[Y=((b+2a)(8ac+2b(2j-b))-(b^2+4a(j-c))(2j-b-2a\mp\sqrt{b^2+4c(j-a)}))s^2+2(4ac+b(2j-b)\pm{(b+2a)}\sqrt{b^2+4c(j-a)})sp+(2j-b-2a\pm\sqrt{b^2+4c(j-a)})p^2\]

\[Z=((b+2a)(8ac+2b(2j-b))-(b^2+4a(j-c))(b+2c\mp\sqrt{b^2+4c(j-a)}))s^2+2(4ac+b(2j-b)\pm {(b+2a)}\sqrt{b^2+4c(j-a)})sp+(b+2c\pm\sqrt{b^2+4c(j-a)})p^2\]

Для случая когда корень \sqrt{b^2+4a(j-c)} целый, решения можно записать:

\[X=(2j^2(b+2a)-j(a+b+c)(2j-2c-b\pm\sqrt{b^2+4a(j-c)}))p^2+2j(\sqrt{b^2+4a(j-c)}\mp{(b+2a)})ps+(2j-2c-b\mp\sqrt{b^2+4a(j-c)})s^2\]

\[Y=(2j^2(b+2a)-j(a+b+c)(b+2a\pm\sqrt{b^2+4a(j-c)}))p^2+2j(\sqrt{b^2+4a(j-c)}\mp{(b+2a)})ps+(b+2a\mp\sqrt{b^2+4a(j-c)})s^2\]

\[Z=j(a+b+c)(b+2a\mp\sqrt{b^2+4a(j-c)})p^2+2((a+b+c)\sqrt{b^2+4a(j-c)}\mp{j(b+2a)})ps+ (b+2a\mp\sqrt{b^2+4a(j-c)})s^2\]

Необходимо упомянуть одну деталь. Если ни один корень не является целым, то необходимо проверить при какой эквивалентной квадратичной форме могут быть решения. Это достигается обычно такой заменой в уравнении X\longrightarrow{X+kY} или же Y\longrightarrow{Y+kX}. k - какое нибудь целое число. Делая такую замену приходим к другому эквивалентному уравнению.
И выясняем есть ли такое число k при котором хоть один корень целый. Обычно это сводится к решению уравнения Пелля или же разложения числа на сумму квадратов. Вообще говоря при решении таких уравнений очень часто сами решения выражаются через решения более простых уравнений Пелля.
Такая ситуация как будто сами решения уравнений Пелля есть самая маленькая единица измерений, с помощью которой описываются остальные решения.

Что же касаемо более общего уравнения: aX^2+bY^2+cZ^2=qXY+dXZ+tYZ

a,b,c,q,d,t - целые коэффициенты задаваемые условием задачи.

Для облегчения записи формулы сделаем замену.

k=(q+t)^2-4b(a+c-d)

j=(d+t)^2-4c(a+b-q)

n=t(2a-t-d-q)+(2b-q)(2c-d)

Если корни целые формулу можно записать::

\[X=(2n(2c-d-t)+j(q+t-2b\pm\sqrt{k}))p^2+2((d+t-2c)\sqrt{k}\mp{n})ps+(2b-q-t\pm\sqrt{k})s^2\]

\[Y=(2n(2c-d-t)+j(2(a+c-d)-q-t\pm\sqrt{k}))p^2+2((d+t-2c)\sqrt{k}\mp{ n })ps+(q+t+2(d-a-c)\pm\sqrt{k})s^2\]

\[Z=(j(q+t-2b\pm\sqrt{k})-2n(2(a+b-q)-d-t))p^2+2((2(a+b-q)-d-t)\sqrt{k}\mp{n})ps+(2b-q-t\pm\sqrt{k})s^2\]

Или же так:.

\[X=(2n(q+t-2b)+k(2c-d-t\pm\sqrt{j}))p^2+2((2b-q-t)\sqrt{j}\mp{n})ps+(d+t-2c\pm\sqrt{j})s^2\]

\[Y=(2n(2(a+c-d)-q-t)+k(2c-d-t\pm\sqrt{j}))p^2+2((q+t+2(d-a-c))\sqrt{j}\mp{n})ps+(d+t-2c\pm\sqrt{j})s^2\]

\[Z=(2n(q+t-2b)+k(d+t+2(q-a-b)\pm\sqrt{j}))p^2+2((2b-q-t)\sqrt{j}\mp{n})ps+(2(a+b-q)-d-t\pm\sqrt{j})s^2\]

Кстати числа p,s - могут быть любого знака. Здесь то же необходимо рассмотреть существование эквивалентной квадратичной формы если ни один корень не будет целым.
Одно время мне доказывали, что написать такую параметризацию уравнения нельзя.
Потом стали доказывать, что данная параметризация не описывает все решения - правда пока я не видел контрпримера.
Хотя основная претензия это слишком громоздкие решения у меня получаются, но тут я не причём - эти уравнения сами решают как у них решения должны выглядеть.
Если никаких возражений не будет я потихоньку буду выкладывать тут решения уже других уравнений и систем.
Кстати - довольно неожидано оказалось, что данный метод расчёта позволяет решать и системы не линейных алгебраических уравнений, правда не все, а только некоторые.

Аватара пользователя
individ
Сообщения: 1777
Зарегистрирован: Вс июн 08, 2014 19:15

Re: Формулы решения Диофантовых уравнений

Номер сообщения:#2   individ » Ср июн 11, 2014 12:35

Думаю чтоб не перерисовывать всю эту кучу формул наверное лучше дать ссылки на темы.
Формулы там нарисованы.
В некоторых темах беседа ведётся на довольно повышенных тонах.
Форум Мехмата МГУ http://www.mathforum.ru/forum/read/1/72482/

В портале аспирантов формулы в формате pdf довольно красиво выглядят http://www.aspirantura.spb.ru/forum/sho ... hp?t=12339

Ещё там: http://forum.academ.org/index.php?showtopic=969824

На американском форуме относятся лучше, по крайне мере не ругаются: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=20642

А это мой блог на одном форуме http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... ?u=206450&
Если, что новые формулы там рисовать буду.

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32785
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Формулы решения Диофантовых уравнений

Номер сообщения:#3   morozov » Ср июн 11, 2014 15:05

individ писал(а):В некоторых темах беседа ведётся на довольно повышенных тонах.
Этот недостаток нашего форума могу устранить... если меня рассердить ....

Кстати Почему Вы решили, что данная тема вписываться раздел математическая физика?
Я советую перенести посты в "Клуб"... пока только советую.
постоянно всё стирают и блокируют
Ну до этого может и не дойдет.
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
individ
Сообщения: 1777
Зарегистрирован: Вс июн 08, 2014 19:15

Re: Формулы решения Диофантовых уравнений

Номер сообщения:#4   individ » Ср июн 11, 2014 16:53

Часто возникает необходимость получить решение некоторых уравнений в целых числах.
То есть - это метод решения таких уравнений и их систем.
Поэтому поместил в этот раздел - думаю по теме.
Я постарался записать всё предельно просто и понятно.
Беру какой то класс уравнений и выписываю формулы их решений.
Собрал таких формул не мало и думаю, что могут пригодится.
Да кстати - получил все эти формулы сам. Метод расчёта для всех уравнений один и тот же.
Довольно элементарный и эффективный. В некоторых случаях альтернативы не существует.
Например для решения систем нелинейных уравнений: http://math.stackexchange.com/questions ... -equations

Аватара пользователя
individ
Сообщения: 1777
Зарегистрирован: Вс июн 08, 2014 19:15

Re: Формулы решения Диофантовых уравнений

Номер сообщения:#5   individ » Сб июн 14, 2014 14:08

Есть одна гипотеза Штрауса. http://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s ... conjecture
Вопрос возник и в это теме http://math.stackexchange.com/questions ... 830#831830
Там же привёл и решение этого уравнения в общем виде.
Странно ссылки не работают почему-то.
Последний раз редактировалось individ Вт июн 24, 2014 12:20, всего редактировалось 3 раза.

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32785
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Формулы решения Диофантовых уравнений

Номер сообщения:#6   morozov » Пн июн 23, 2014 23:42

В России рассказывать на форумах о таких решениях занятие не благодарное, постоянно всё стирают и блокируют
Может они правы?
Не похоже что Вы читали правила....
Вы не заметили. Названия раздела?
Какое это ношение к Математической физике это имеет?

Я немного походил по ссылкам, и мне показалось, что Вы не вежливы и игнорируете вопросы (а здесь еще и правила).

Похоже вы предлагаете ответы, а не решения.
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
individ
Сообщения: 1777
Зарегистрирован: Вс июн 08, 2014 19:15

Re: Формулы решения Диофантовых уравнений

Номер сообщения:#7   individ » Вт июн 24, 2014 8:38

Довольно часто задачи сводятся к нахождению решений в целых числах.
Вот совсем не давно возникла задача о рассеянии частиц.
Чтоб определить вероятность распределения необходимо было решить Диофантово уравнение.
И я для них её решил.
Так, что некоторые решения могут пригодится.
Вы мне говорите, что это не решения.
Я этого не понимаю. Вы нашли в формуле ошибку? Если да, то в какой?
Их проверяли много кратно и пока контрпримера не нашёл я. И никто не предоставил.

Мой метод расчёта отличается от методов теории чисел, но не думаю, что из-за этого его надо игнорировать.
Я стараюсь решать уравнения в общем виде. Вы знаете другой метод который может давать решения в общем виде?

Этот метод расчёта новый. Использует новые идеи, отличные от теории чисел.
К нему относятся очень агрессивно. Поэтому и стараются его стереть и не замечать.
Думаю любой метод расчёта должен иметь право на существование. Всегда может пригодится.

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32785
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Формулы решения Диофантовых уравнений

Номер сообщения:#8   morozov » Вт июн 24, 2014 10:57

Вот совсем не давно возникла задача о рассеянии частиц.
Чтоб определить вероятность распределения необходимо было решить Диофантово уравнение.
Во первых возникла давно... во-вторых не надо делать вид, что Вы что-то про это знаете. Да, и не надо делать вид что Вы математик.
individ писал(а):Вы мне говорите, что это не решения.
Это ответ. Где собственно решения?
individ писал(а):Я этого не понимаю.
Это видно.
individ писал(а):Я стараюсь решать уравнения в общем виде.
Нет, вы пишите ответ.
individ писал(а):Этот метод расчёта новый.

Где метод?
individ писал(а):Использует новые идеи, отличные от теории чисел.
Что Вы не математик ясно. Ничего личного, школу закончили?
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
individ
Сообщения: 1777
Зарегистрирован: Вс июн 08, 2014 19:15

Re: Формулы решения Диофантовых уравнений

Номер сообщения:#9   individ » Вт июн 24, 2014 11:55

Мне в день по 3 раза говорят, что дурак. Давно на это не сержусь.
Самый лучший способ отработать метод расчёта - это обсуждать на форуме формулы.

Я действительно пишу только готовые формулы решения уравнений без самого вывода.
Дело в том, что ценность представляет сам метод расчёта.
На форуме показывать его просто не рационально.

Как Вы понимаете ни один мой листочек никто не напечатает и у меня остаётся только один выход.
Беру уравнение или систему которое не решили. И показываю как можно написать решение.
Таким способом перерешал много уравнений. Даже больше чем до меня решили.

Я удивлён, что Вам кажутся решения простыми. Некоторые решения такие длинные, что проверить их крайне тяжело, не то, что найти решения.

Кстати почему ссылки не работают? На других форумах довольно интересные задачки есть. Решения хотелось бы показать.

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32785
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Формулы решения Диофантовых уравнений

Номер сообщения:#10   morozov » Вт июн 24, 2014 12:12

Вы не правильно используете тег [url] не нужно его использовать если просто даете ссылку

Пример использования в вашем последнем посте. Посмотрите нажав "правка"
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
individ
Сообщения: 1777
Зарегистрирован: Вс июн 08, 2014 19:15

Re: Формулы решения Диофантовых уравнений

Номер сообщения:#11   individ » Вт июн 24, 2014 12:22

Спасибо!
Вроде стало понятно.
Ну вот там можно посмотреть как формулу записать можно. Решение выглядит так просто.

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32785
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Формулы решения Диофантовых уравнений

Номер сообщения:#12   morozov » Вт июн 24, 2014 12:51

individ писал(а):Я удивлён, что Вам кажутся решения простыми.
Вы гордитесь их сложностью?
individ писал(а):Я действительно пишу только готовые формулы решения уравнений без самого вывода.
Ради бога пишите. только для кого?
individ писал(а):Мне в день по 3 раза говорят, что дурак. Давно на это не сержусь.
Я этого не говорил. Ну, если хотите, могу попробовать.
individ писал(а):Самый лучший способ отработать метод расчёта - это обсуждать на форуме формулы.

Ну это нелепо. Ваши проблемы, решайте сами.
Теперь я понимаю почему Вас ругают. Правильно ругают. Само выражение "метод расчета уравнений" грамматически не правильно.

Вспоминаю детство, ну не совсем детство... когда мы с Сережей Гельфандом и Рамилем Зигангировым ловили знакомых на мехмате и показывали мою формулу простых чисел знакомым. Формула была правильная но совершенно бесполезная. Этой развлекухи хватило на пару дней. Теория чисел сейчас на сильно интересна. К тому же я не вижу, что тут можно обсуждать. В математике ответы ничего не значат. Была такая Зоя Михайловна, вела 101 группу по мататнализу... правильный ответ у нее еще не повод ставить зачет: "Вы же математик, это плохое решение" и выгоняла.

Я к тому, что если Вы о математике то извольте говорить о решениях, доказательствах единственности и пр. Если о чем-то другом то это в "оффтопик" там праздные разговоры.
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
individ
Сообщения: 1777
Зарегистрирован: Вс июн 08, 2014 19:15

Re: Формулы решения Диофантовых уравнений

Номер сообщения:#13   individ » Вт июн 24, 2014 15:04

На сколько я знаю формула, которая бы давала при подстановки простые числа не может существовать.
Можно составить формулу которая бы при каком то возможном интервале давала бы простые числа.
Но всегда будет интервал когда формула не выдаёт простые числа.
Хотя всё равно хотелось бы не неё взглянуть. Как выглядит.

Как отработать метод расчёта не обсуждая его?
Я думаю, что для этого и существуют такие форумы где можно это обсудить.

Теория чисел действительно не интересна. По крайне мере для практических целей очень сложна и не эффективна.
Всякие попытки найти другой подход приводят к конфликту. Не воспринимают попытки решения Диофантовых уравнений.
Обычно всё сводится к стиранию и помещению в оффтопик.

Но если кому то это не интересно, так может оставить эту тему в покое и просто не мешать?
Хотя обычно так не поступают.
Вот на форуме dxdy обсуждали одну древнюю задачку http://dxdy.ru/topic57872.html

Как они решают её с использование методов теории чисел можно посмотреть. Я то же туда своё решение нарисовал.
Ну и что сделали? Всё удалили, стёрли и забанили.
Хотя моё решение можно посмотреть там http://math.stackexchange.com/questions ... 929#789929
И тут http://math.stackexchange.com/questions ... alexandria

И таких задачек много. Когда говорят, что решений нет, а когда рисуешь - эти формулы стирают.

Для кого пишу?
Для всех. Чтоб знали. Некоторые формулы существуют.
И некоторые уравнения можно решать!

Аватара пользователя
Коллега из Тамбова
Сообщения: 2501
Зарегистрирован: Чт окт 11, 2012 23:31
Откуда: с Воркуты

Re: Формулы решения Диофантовых уравнений

Номер сообщения:#14   Коллега из Тамбова » Ср июн 25, 2014 0:10

Совершенно с Вами согласен, нет такой формулы, по которой можно считать простые числа, и не может быть в принципе, но можно составить программу для расчёта простых чисел, но я не программист.

А не воспринимают попытки решения Диофантовых уравнений наверное потому, что какой-то Великий идиот сказал, что они не имеют решения.

Аватара пользователя
individ
Сообщения: 1777
Зарегистрирован: Вс июн 08, 2014 19:15

Re: Формулы решения Диофантовых уравнений

Номер сообщения:#15   individ » Ср июн 25, 2014 8:46

Коллега из Тамбова писал(а):Совершенно с Вами согласен, нет такой формулы, по которой можно считать простые числа, и не может быть в принципе, но можно составить программу для расчёта простых чисел, но я не программист.

А не воспринимают попытки решения Диофантовых уравнений наверное потому, что какой-то Великий идиот сказал, что они не имеют решения.
Да Вы правы!
Доктор сказал в морг значит в морг!

Сказали, что нельзя выработать единый алгоритм решения - значит нельзя.

Хотя не то-что алгоритм, можно их решать.
Поэтому когда математикам показываешь формулы решения - у них это вызывает такую истерическую реакцию, что просто ужас.

Они даже не спорят. Понимают, что это выглядит глупо.
Просто или не замечают формул или же их удаляют. Иногда до смешного доходит.
Прошу посмотреть, а мне - их нет. Я говорю проверь и убедись.
Говорят их не существует поэтому ничего смотреть и читать не будут. Даже одним глазом.

Ответить

Вернуться в «Оффтопик»