Nonholonomic Transformations from Flat to Curved Field Space

Модератор: mike@in-russia

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5308
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Nonholonomic Transformations from Flat to Curved Field Space

Номер сообщения:#1   Кисантий » Сб ноя 28, 2009 16:38

Nonabelian Bosonization as a Nonholonomic Transformations from Flat to Curved Field Space
Nonabelian Bosonization as a Nonholonomic Transformations from Flat to Curved Field Space
http://arxiv.org/abs/hep-th/9606065
Abstract: There exists a simple rule by which path integrals for the motion of a point particle in a flat space can be transformed correctly into those in curved space. This rule arose from well-established methods in the theory of plastic deformations, where crystals with defects are described mathematically by applying nonholonomic coordinate transformations to ideal crystals. In the context of time-sliced path integrals, this has given rise to a {\em quantum equivalence principle\/} which determines the measure of fluctating orbits in spaces with curvature and torsion. The nonholonomic transformations are accompanied by a nontrivial Jacobian which in curved spaces produces an additional energy proportional to the curvature scalar, thereby canceling an equal term found earlier by DeWitt from a naive formulation of Feynman's time-sliced path integral in curved space. The importance of this cancelation has been documented in various systems (H-atom, particle on the surface of a sphere, spinning top). Here we point out its relevance in the process of bosonizing a nonabelian one-dimensional quantum field theory, whose fields live in a flat field space. Its bosonized version is a quantum-mechanical path integral of a point particle moving in a space with constant curvature. The additional term introduced by the Jacobian is crucial for the identity between original and bosonized theory.
A useful bozonization tool is the so-called Hubbard-Stratonovich formula for which we find a nonabelian version.

Аватара пользователя
zblsv
Сообщения: 800
Зарегистрирован: Пт сен 25, 2009 3:59
Откуда: Иваново

Re: Nonholonomic Transformations from Flat to Curved Field Space

Номер сообщения:#2   zblsv » Пт дек 25, 2009 0:47

Неголономное преобразование координат это ж в сущности преобразование самого пространства, покрытого координатной сеткой.
Ведь проводя его, мы по сути преобразуем уравнение, которому удовлетворяют наши координаты, в другое неэквивалентное уравнение, решая уже которое мы получим результат преобразования -- новые координаты.

Ну хорошо, данные товаришьчи нашли такое преобразование, которое на автомате зануляет добавку в энергии, которой быть никак не должно.
А данные товаришьчи задумывались над вопросом, сколько вообще может быть таких преобразований? (причём, не только неголономных преобразований координат -- есть ещё бесконечномерно-бесконечное множество других возможных типов преобразований).
Что именно выделяет их этот один вариант из всего того множества возможных вариантов, кроме означенного зануления лишних слагаемых, смысла которых, ой, что-то мне подсказывает, они совсем себе не представляют?
Тогда ценность данной работы чисто математическая, но не физическая: найден один пример преобразования, удовлетворяющего заданному критерию.
Слова уносит ветер...

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5308
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Nonholonomic Transformations from Flat to Curved Field Space

Номер сообщения:#3   Кисантий » Пн дек 28, 2009 19:18

Cтатья приведена как пример по поводу того, что кривизну можно обнулить только не голономным преобразованием.
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911.

Аватара пользователя
zblsv
Сообщения: 800
Зарегистрирован: Пт сен 25, 2009 3:59
Откуда: Иваново

Re: Nonholonomic Transformations from Flat to Curved Field Space

Номер сообщения:#4   zblsv » Пн дек 28, 2009 19:48

Кисантий писал(а):Cтатья приведена как пример
Надо бы в первом посте хоть мяукнуть по поводу того, по какому поводу статья приведена...
Кисантий писал(а):кривизну можно обнулить только не голономным преобразованием.
Это можно, например, так объяснять детям.
Имеем диффур для дифференциалов координат, из которого можно интегрированием сами координаты получить.
Этот диффур сам по себе несёт свойства геометрии того пространства, которое мы покрыли координатной сеткой.
Имеется два радикально разных способа преобразования этого диффура: а) мы можем заменить одни координаты другими, не меняя сам фиффур -- это будет голономное преобразование дифференциалов, б) мы можем поменять сам диффур, так что множество его решений изменится, то есть изменится и геометрия того пространства, которому он соответствует -- это неголономное преобразование дифференциалов.
Поправьте, если что не так.
Слова уносит ветер...

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5308
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Nonholonomic Transformations from Flat to Curved Field Space

Номер сообщения:#5   Кисантий » Пт янв 01, 2010 16:49

>то есть изменится и геометрия того пространства,
геометрия не изменится, а просто римановский тензор кривизны уже не будет геометрическим объектом этой новой геометрии, если Вы ввели в рассмотрение неголономные системы координат. В неголономных координатах пространство Минковского имеет ненулевую римановскую кривизну... Вообще говоря главным атрибутом любой геометрии, является связность и коль скоро появились неголономные преобразования систем координат, то легко понять, что вместо римановской связности, в такой геометрии должна появиться какая то другая конструкция.
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911.

Аватара пользователя
zblsv
Сообщения: 800
Зарегистрирован: Пт сен 25, 2009 3:59
Откуда: Иваново

Re: Nonholonomic Transformations from Flat to Curved Field Space

Номер сообщения:#6   zblsv » Пт янв 01, 2010 21:46

Кисантий писал(а):Вообще говоря главным атрибутом любой геометрии, является связность и коль скоро появились неголономные преобразования систем координат, то легко понять, что вместо римановской связности, в такой геометрии должна появиться какая то другая конструкция.
Ну, объект неголономности будет отличен от нуля.
Берём, скажем, плоское пространство Минковского; делаем неголономное преобразование координат.
Получим и лихое преобразование связности -- она уже может и не выражаться только через метрику.
Теперь, вот чего не понимаю.
Общее пространство -- это две штуки: метрика и линейная связность.
Что неголономным преобразованием можно пространство с ненулевым кручением получить -- понятно.
А можно ли из плоского пространства неголономным преобразованием получить пространство с нулевым кручением, но ненулевой кривизной (риманово)?
И мне не понятно, как различать преобразования координат на одном и том же многообразии и преобразование самого многообразия -- или нет разницы?
Слова уносит ветер...

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5308
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Nonholonomic Transformations from Flat to Curved Field Space

Номер сообщения:#7   Кисантий » Вт янв 05, 2010 21:36

>А можно ли из плоского пространства неголономным преобразованием получить пространство с нулевым кручением, но ненулевой кривизной (риманово)?
Без проблем. А из риманова можно перейти в плоское (локально), не делая необоснованного предположения о том, что его можно заменить касательным. Но при этом связность уже нельзя выбрать голономной как в классической ОТО...
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911.

S.A. Podosenov
Сообщения: 951
Зарегистрирован: Ср июн 13, 2007 0:46

Re: Nonholonomic Transformations from Flat to Curved Field Space

Номер сообщения:#8   S.A. Podosenov » Вт янв 05, 2010 23:20

Кисантий писал(а):>А можно ли из плоского пространства неголономным преобразованием получить пространство с нулевым кручением, но ненулевой кривизной (риманово)?
Без проблем. А из риманова можно перейти в плоское (локально), не делая необоснованного предположения о том, что его можно заменить касательным. Но при этом связность уже нельзя выбрать голономной как в классической ОТО...
S.A. Podosenov писал(а):>Вообще говоря, непосредственно из пространства Минковского перейти в пространство Римана с помощью неголономных преобразований по честному нельзя, если использовать добавки к Схоутен-тензору. Схоутен тензор тождественный ноль. Однако подработав, как это сделано во второй главе моей книги, можно получить обычный голономный тензор Римана отличен от нуля.

Аватара пользователя
zblsv
Сообщения: 800
Зарегистрирован: Пт сен 25, 2009 3:59
Откуда: Иваново

Re: Nonholonomic Transformations from Flat to Curved Field Space

Номер сообщения:#9   zblsv » Вт янв 05, 2010 23:35

Народ, а есть какой-нибудь учебник или монография по пространствам общего вида?
Чтобы в книге все следующие слова упоминались: аффинная связность, тензор кручения, тензор кривизны гомотетии, объект неголономности, объект неметричности.
Желательно с приложениями.
Просто тут момент возник с системами отсчёта: как описывать математически то, что связывает во едино систему отчёта физически? -- думаю, оно линейная связность и есть.
Слова уносит ветер...

S.A. Podosenov
Сообщения: 951
Зарегистрирован: Ср июн 13, 2007 0:46

Re: Nonholonomic Transformations from Flat to Curved Field Space

Номер сообщения:#10   S.A. Podosenov » Ср янв 06, 2010 14:18

Уважаемый Коллега! В качестве книги, в которой многое есть, о чем Вы спрашиваете, предлагаю книгу Я.А. Схоутен, Тензорный анализ для физиков.Наука, М. 1965. Там есть и приложения к теориии упругости к классической динамике, теории относительности, матричному исчислению Дирака. В дополнении к книге разобрана также теория дислокаций Кунина, в которой рассматриваются пространства с кручением. Внешняя и внутренняя метрика, пространство метрической связности. Как человеку, интересующемуся метрологией, там есть специальная глава. VI. Физические объекты и их размерности. По системам отчета есть книга моего покойного шефа В.И. Родичев. Теория тяготения в ортогональном репере. М. Наука, 1974., О.С. Иваницкая, Обобщенные преобразования Лоренца и их применение. Минск, Наука и техника,
1969. Имеется книга Ю.С. Владимиров. Системы отсчета в теории гравитации. М. Энергоиздат, 1982. А также работы А.Л. Зельманова. У меня вся информация старая, а новаую литературу очень хорошо знает Кисантий.

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5308
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Nonholonomic Transformations from Flat to Curved Field Space

Номер сообщения:#11   Кисантий » Ср янв 06, 2010 20:24

[quote= S.A. Podosenov]>Вообще говоря, непосредственно из пространства Минковского перейти в пространство Римана с помощью неголономных преобразований по честному нельзя, если использовать добавки к Схоутен-тензору. Схоутен тензор тождественный ноль.
Согласен, что ноль, но римановский тензор, вообще говоря поменяется.
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911.

Аватара пользователя
zblsv
Сообщения: 800
Зарегистрирован: Пт сен 25, 2009 3:59
Откуда: Иваново

Re: Nonholonomic Transformations from Flat to Curved Field Space

Номер сообщения:#12   zblsv » Чт янв 07, 2010 2:00

Спасибо, особенно, за Схоутена; я его видел, но прошёл мимо.
Слова уносит ветер...

Аватара пользователя
zblsv
Сообщения: 800
Зарегистрирован: Пт сен 25, 2009 3:59
Откуда: Иваново

Re: Nonholonomic Transformations from Flat to Curved Field Space

Номер сообщения:#13   zblsv » Чт янв 07, 2010 2:53

Кисантий писал(а):Согласен, что ноль, но римановский тензор, вообще говоря поменяется.
Ага, чего-то я недопонимаю.

Так; надо бы расставить всё по местам.
Сперва, есть многообразие -- это топологическое пространство с таким свойством, чтобы можно было локально вводить на нём координаты (окрестность каждой точки гомеоморфна открытому шару).
Есть две совершенно независимые вещи: метрика и аффинная связность.
Аффинная связность -- это правило параллельного переноса векторов.
Если задать метрику как квадратичную форму дифференциалов (которые сами есть ко-касательные векторы, а касательными тут будут производные), то можно и задать некое естественное правило параллельного переноса (это проделывают Л.Л. в своём изложении), то есть задать и связность, то есть коэффициенты связности будут выражаться через метрический тензор -- получится риманово пространство ОТО.

Теперь, есть несколько объектов, которые выражаются через коэффициенты аффинной связности: тензор кривизны, тензор кручения, тензор сегментарной кривизны и ещё несколько можно скомбинировать.
Если коэффициенты связности выражаются через метрический тензор, то, понятно, и эти объекты будут через него выражаться (в ОТО отличен от нуля, однако, будет только тензор кривизны).

Далее, мы можем заменять координаты, но мы ещё можем заменять и дифференциалы -- это не сводится в общем случае одно к другому: если мы поменяем координаты, то дифференциалы поменяются тоже, но согласованно, а мы ещё можем так дифференциалы поменять независимо, что не будет соответствующей замены координат вообще.

Это всё понятно, а теперь о том, что не понятно.

Если взять плоское многообразие, то никаким голономным преобразованием координат его кривым не сделаешь, но можно ещё взять неголономное преобразование.
При неголономном преобразовании коэффициенты связности лихо преобразуются, однако так, что объект неголономности обязательно станет отличен от нуля; метрика тоже поменяется.
Выходит, неголономным преобразованием можно получить из плоского пространства пространство с кручением и кривизной, но не только с одной кривизной -- правильно ли я понимаю?

Ещё непонятка в том, что например товаришчь Схоутен говорит не о неголономном преобразовании координат, а о неголономных координатах.
Понятно, что можно произвольно задать в каждой точке некие орты и назвать их дифференциалами, но нужно ж ещё иметь право их именно дифференциалами-то называть, разве нет?
Какое отношение эти произвольным образом заданные орты будут иметь к тому многообразию, к которому они пришиты?
Я вижу переход к новому многообразию, а не переход к новым координатам на том же многообразии, или где?

Отсюда вопрос: если имеется неголономная система координат на некотором многообразии, то можно ли непрерывным отображением перейти к другому многообразию, на котором уже эта система координат была бы голономной?
Слова уносит ветер...

Аватара пользователя
zblsv
Сообщения: 800
Зарегистрирован: Пт сен 25, 2009 3:59
Откуда: Иваново

Re: Nonholonomic Transformations from Flat to Curved Field Space

Номер сообщения:#14   zblsv » Чт янв 07, 2010 19:22

Похоже, путаю глобальные и локальные свойства.

Многообразие само по себе несёт топологию, то бишь глобальные свойства.
Метрика и связность же несут локальную структуру пространства (пространство -- это многообразие, метрика и связность в совокупности).
Если мы поменяем связность, то поменяем локальные свойства пространства, но не поменяем многообразие.

Но тогда голономные преобразования координат не меняют такие характеристики как кривизна и кручение пространства, а неголономные -- меняют.
Выходит, я прав в том, что неголономное преобразование координат -- это переход к другому пространству (и не прав в том, что это не переход к другому многообразию).

Остаётся, однако, возможность заменить именно многообразие.
Если это гомеоморфизм, то, понятно, это будет эквивалентно переходу к новым голономным координатам на старом многообразии, но может быть и иначе, например, это может быть факторизация (отождествление некоторых точек) -- тогда это не сводится к голономному преобразованию координат.
Если задать некоторые координаты, и выполнить такое преобразование многообразия, то оно будет выглядеть как преобразование координат, по построению оно будет неголономное (понятно, мы его будем рассматривать не во всех поголовно точках, но почти всюду), или же это будет принципиально другая вешчь?

Если бы преобразование многообразия сводилось к неголономному преобразованию координат, то не существовало бы способа получить из плоского пространства гнутое без кручения, но я не вижу препятствий, например, изогнуть плоскость без кручения.
Значит, преобразований многообразия всяко больше, чем неголономных преобразований координат.

Что-то тут не так...
Вот плоскость: как на ней не вводи координаты, кривизны не получишь.
Вот сфера: как на ней не вводи координаты, от кривизны не избавишься.
Вот отображение одного в другое (стереографическая проекция, например).
Метрика одного, понятно, преобразовалась в метрику другого, но и точки же преобразовались -- значит, соответствие точек породило соответствие метрик? -- не может быть так, ибо я могу расчертить плоскость стереографической проекцией и назвать это новыми координатами на плоскости -- расстояния между точками поменялись, не только точки.
Значит, метрика плоскости преобразовалась в метрику сферы и уже это преобразование породило стереографическую проекцию?
И коэффициенты связности тоже поменялись... причём, можно было бы плоскость и закрутить при желании...

Геометрией многообразия что именно называется?
Слова уносит ветер...

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5308
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Nonholonomic Transformations from Flat to Curved Field Space

Номер сообщения:#15   Кисантий » Чт янв 07, 2010 21:03

>Какое отношение эти произвольным образом заданные орты будут иметь к тому многообразию, к которому они пришиты?
Вообще говоря, абсолютно никакого. Это дополнительная геометрическая структура на исходном голономном дифференцируемом многообразии.
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911.

Ответить

Вернуться в «Теоретическая физика / Theoretical Physics»