Неголономные координаты в явном виде

Модератор: mike@in-russia

Аватара пользователя
zblsv
Сообщения: 800
Зарегистрирован: Пт сен 25, 2009 3:59
Откуда: Иваново

Неголономные координаты в явном виде

Номер сообщения:#1   zblsv » Пт фев 26, 2010 23:00

Есть ещё одна такая моя работа: http://www.physics-online.ru/php/paper. ... n_lang=rus.
Тут я взял да и построил неголономные координаты в явном виде.
Спросите?: решил нерешаемое дифуравнение?
Отвечу: именно так; построил решение, когда оно решаемо, таким способом, который работает и для нерешаемого уравнения.
Теперь умею выписывать неголономные преобразования координат не только через дифференциалы, а и в конечном виде.

Есть такая штука, придумал её Пуанкаре, гладкие многообразия называется.
Это берётся топологическое пространство, удовлетворяющее массе условий, цель которых только в том, чтобы гладким многообразием называлось лишь евклидово подмногообразие, а никаких более абстрактных многообразий не существовало; считается, что это более логично (не мои слова, видел в книжке), чем сразу говорить о подмножествах евклидова пространства...
О чём это я?... ах да... так вот гладкие многообразия появились из нужд картографии, то есть, когда нужно некую кривую местность изобразить на плоской карте кусками так, чтобы потом можно было куски сшить, а соответствие между атласом из множества карт и местностью было потребно точным.

Тоже самое получается и с системами отсчёта в физике.
Системы координат (это карты в данном случае), в которых координаты от времени зависят, соответствуют системам отсчёта.
Получается, что пространство-время -- это гладкое многообразие.

Зельманов довольно давно придумал метод хронометрических инвариантов по которому получаются координатные преобразования от любых координат к физически измеримым времени и длине.
Но надо ж было такому случиться, что преобразования эти получились не простыми, а так называемыми неголономными (не голономными? а небезизвестный как пишется? -- тоже подчёркивает; посмотрю в учебнике по русскому языку...)... о чём это я?... ах да, неголономные...
Проще говоря, Зельманов получил систему дифуравнений для координатного преобразования, но решения у этой системы быть не обязано, она может быть неинтегрируемой.
И чтобы это значило?

Решение у той системы должно удовлетворять ряду условий, главное из которых: координатное преобразование должно быть обратимым (то есть, понятно, и однозначным).
Если координатное преобразование этим условиям не удовлетворяет, то соответствующее ему уравнение не решается.
Но это не значит, что координатного преобразования самого по себе нет.

Сплочённая группа товаришьчей представляет себе пространство-время как? -- как гладкое многообразие, которое мы покрываем теми или иными координатными сетками и системами отсчёта.
Задержим фокус внимания.
Пространство-время -- это как бы местность, которую мы покрываем системами отсчёта (координатами).
Получается гладкое многообразие.
Каждая мировая точка этого пространства-времени находится сразу во всех системах отсчёта, а разница только в том, что она там разные значения координат имеет.

Группа товаришьчей тут совсем позабыла две простые вещи.
а) Пространство и время -- это лишь формы существования материи, а не нечто, существующее отдельно от неё, нечто, во что остальная материя погружена.
б) Пространственные координаты имеют физический смысл длины: их, чтобы они были, нужно уметь измерять, а измерение их есть измерение длины.
Если эти две вещи вспомнить, то обнаружится, что никакого гладкого многообразия у нас и в помине нет.
Грубо говоря, в каждой системе отсчёта своё пространство-время, а сшивает их воедино только существование инвариантной скорости и ничего, кроме того.
Если в какой-то системе отсчёта есть мировая точка, то в другой системе отсчёта этому же событию может соответствовать не одна, а много мировых точек, и наоборот.
Ничего удивительного тут нет: одновременность ж относительна, а пространственная координата есть длина, когда мы длину измеряем, мы концы отрезка в один и тот же момент времени берём -- вот петрушка и получается.
Гладкое безобразие...
Слова уносит ветер...

Станислав Кравченко
Сообщения: 1088
Зарегистрирован: Ср янв 23, 2008 14:47

Re: Неголономные координаты в явном виде

Номер сообщения:#2   Станислав Кравченко » Сб фев 27, 2010 1:13

Грубо говоря, в каждой системе отсчёта своё пространство-время, а сшивает их воедино только существование инвариантной скорости и ничего, кроме того.
За это БРАВО!
Если в какой-то системе отсчёта есть мировая точка, то в другой системе отсчёта этому же событию может соответствовать не одна, а много мировых точек, и наоборот.
здесь ошибка.
философ

Аватара пользователя
zblsv
Сообщения: 800
Зарегистрирован: Пт сен 25, 2009 3:59
Откуда: Иваново

Re: Неголономные координаты в явном виде

Номер сообщения:#3   zblsv » Сб фев 27, 2010 17:28

События не множатся, только мировые точки множатся.

Простая иллюстрация.
Берём окружность, вводим на ней координату в виде длины дуги.
Тогда каждой точке окружности соответствует бесконечно много значений координаты, не правда ли?
От этого окружность не размножилась никак -- просто у нас такая координата.
Тем не менее, каждое значение координаты -- это результат конкретного измерения, которое можно провести с помощью нитки.

Теперь берём ещё вращающуюся окружность.
Дуге в полоборота на неподвижной окружности соответствует дуга в полторасто оборотов на движущейся окружности.
Одновременность ж относительна, а длина дуги -- это длина, концы отрезка нужно брать в один и тот же момент времени.
Вот за время, соответствующее расстройке часов, вращающаяся окружность успела провернуться на полторасто без половины полных оборотов.
Что тут необычного?
Слова уносит ветер...

Станислав Кравченко
Сообщения: 1088
Зарегистрирован: Ср янв 23, 2008 14:47

Re: Неголономные координаты в явном виде

Номер сообщения:#4   Станислав Кравченко » Сб фев 27, 2010 19:02

Что тут необычного?
необычна "вращающаяся окружность". Что-то я не встречал таких событий в пространстве событий.
Более того, я вообще не знаю, что такое координата, если нет однозначного соответствия для координатного множества каждому её элементу уникального набора чисел.
К примеру, я не знаю, что такое система отсчета с пересекающимися (или как еще) гиперповерхностями.
Все это для меня нонсенс.
философ

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5688
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Неголономные координаты в явном виде

Номер сообщения:#5   Кисантий » Вс мар 21, 2010 9:24

>Есть такая штука, придумал её Пуанкаре, гладкие многообразия называется.
Это берётся топологическое пространство, удовлетворяющее массе условий, цель которых только в том, чтобы гладким многообразием называлось лишь евклидово подмногообразие, а никаких более абстрактных многообразий не существовало;
В случае псевдоримановых многообразий это уже не работает. Кстати геометрия Лобачевского не имеет реализации в виде внутренней геометрии какой либо гладкой поверхности в евклидовом пространстве :mrgreen:
А неголономные преобразования в общем случае, невозможно заменить голономным :wall:
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911

Аватара пользователя
zblsv
Сообщения: 800
Зарегистрирован: Пт сен 25, 2009 3:59
Откуда: Иваново

Re: Неголономные координаты в явном виде

Номер сообщения:#6   zblsv » Пн мар 22, 2010 21:02

Кисантий писал(а):В случае псевдоримановых многообразий это уже не работает.
А, если выполнить комплексный поворот?
Кисантий писал(а):Кстати геометрия Лобачевского не имеет реализации в виде внутренней геометрии какой либо гладкой поверхности в евклидовом пространстве
Верно.
Причём, именно поэтому плоскость или сфера -- это не только лишь метрические пространства с соответствующей метрикой, а более богатые объекты.
Кисантий писал(а):А неголономные преобразования в общем случае, невозможно заменить голономным
Разумеется.
А кто-то пытался?
Слова уносит ветер...

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5688
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Неголономные координаты в явном виде

Номер сообщения:#7   Кисантий » Пн мар 22, 2010 23:51

>А, если выполнить комплексный поворот?
Это ничего не даст, потому что псевдориманово многообразие не является (за исключением очень редких случаев) подмногообразием комплесно-аналитического многообразия.
>А кто-то пытался?
А зачем. Ведь любая такая процедура заведомо не однозначна. Неголономность имеет глубокий геометрический и соответственно физический смысел, который при такой процедуре будет потерян.
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911

Аватара пользователя
zblsv
Сообщения: 800
Зарегистрирован: Пт сен 25, 2009 3:59
Откуда: Иваново

Re: Неголономные координаты в явном виде

Номер сообщения:#8   zblsv » Вт мар 23, 2010 0:10

Кисантий писал(а): >А кто-то пытался?
А зачем.
Я в том смысле, что я тоже не вижу в этом смысла... бульдога отображать на носорога...
Слова уносит ветер...

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5688
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Неголономные координаты в явном виде

Номер сообщения:#9   Кисантий » Вт мар 23, 2010 0:42

zblsv писал(а):
Кисантий писал(а): >А кто-то пытался?
А зачем.
Я в том смысле, что я тоже не вижу в этом смысла... бульдога отображать на носорога...
Нет Вы видите в этом смысл. Пока Вы остаетесь в рамках Эйнштейновской ОТО нет никакой принципиальной разницы. Не голономность играет важную роль только в настоящей неголономной геометрии, т.е. когда присутствует чисто неголономная связность. А переписывание обычных координатных дифференциалов в зельмановские неголономные ничего принципиально нового не дает, потому что связность все равно римановская :!:
Определить координаты как физическое расстояние в общем случае то же невозможно. :!:
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911

Аватара пользователя
zblsv
Сообщения: 800
Зарегистрирован: Пт сен 25, 2009 3:59
Откуда: Иваново

Re: Неголономные координаты в явном виде

Номер сообщения:#10   zblsv » Вт мар 23, 2010 1:31

Кисантий писал(а):Пока Вы остаетесь в рамках Эйнштейновской ОТО нет никакой принципиальной разницы.
Важно заметить, что, чтобы выйти за её рамки, мне нужны основания для этого, кроме моего желания это сделать...
Кисантий писал(а): Не голономность играет важную роль только в настоящей неголономной геометрии, т.е. когда присутствует чисто неголономная связность.
Согласен с этим и на счёт расстояний.
Но откуда берётся связность и что это такое физически?
Я не могу просто сказать: ах, мне эта связность не нравится, я хочу другую взять, а потом посмотрю, совпадёт ли результат с экспериментом -- не совпадёт, так я не угадаю никогда.
Вот на данный момент я заметил, что, действительно, нет у меня никакого псевдо-риманового пространства, о котором говориться в ОТО -- появились у меня основания.
Так его вместе со всеми связностями нет...

То, что есть у меня теперь, могу описать так.
Есть нечто вполне единое и непрерывное, состоящее из точек, размерность его я не знаю, ибо что такое его размерность тоже не понимаю толком.
На этом нечто я умею (в прямом смысле) наклеивать карты превдо-евклидовых пространств.
Во всех картах метрика плоская, и я ничего с этим поделать не могу: что она плоская, это просто отражение того факта, что у меня скорость света инвариантна и больше никакой информации в том нет.
У меня бы получилось обычное псевдо-риманово многообразие, если бы функции перехода между картами были однозначными.
А они, заразы, многозначные в обе стороны...

Вы, как я понимаю, мыслите об том едином, на чём я карты клею, об его геометрии и связности.
Меня такой подход устраивает, ибо а) я знаю, что, хотя мои карты и многозначно ему соответствуют, оно единое и непрерывное, значит мыслить его можно, б) я как физик всё равно дело имею только с картами, и что бы Вы как математик не придумали о том едином, если только мои карты не порушите, то я завсегда физически интерпретирую и применить смогу, ибо это будет лишь просто общий взгляд на мои карты, их упорядоченное рассмотрение, так сказать.
Слова уносит ветер...

Аватара пользователя
zblsv
Сообщения: 800
Зарегистрирован: Пт сен 25, 2009 3:59
Откуда: Иваново

Re: Неголономные координаты в явном виде

Номер сообщения:#11   zblsv » Вт мар 23, 2010 1:42

Кисантий писал(а):А переписывание обычных координатных дифференциалов в зельмановские неголономные ничего принципиально нового не дает, потому что связность все равно римановская
Связности тут вообще тогда нет, если рассматривается конечный вид неголономного преобразования координат: мы ж этим само пространство-время меняем, а не просто переходим от одних координат к другим в одном и том же пространстве-времени.
Если хотите о конструктивной стороне, то вот могу что сказать.
Вот в неголономных координатах есть дифференциальный оператор, вид которого получен из неизвестных мне соображений: почему он именно таким должен быть никогда не говорят (а если транспонированную матрицу коэффициентов тут взять? а, если обратную?).
Можно получить конечный вид неголономного преобразования координат по указанному мной рецепту, взять какое-нибудь дифференциальное уравнение, и просто подставить туда этот конечный вид -- получится дифференциальное уравнение в неголономных координатах.
Мне не досуг проверить: а не то ли самый вид неголономного дифференциального оператора так и получится?
Слова уносит ветер...

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5688
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Неголономные координаты в явном виде

Номер сообщения:#12   Кисантий » Вт мар 23, 2010 11:16

>Важно заметить, что, чтобы выйти за её рамки, мне нужны основания для этого, кроме моего желания это сделать...
Легко понять, что способ математического описания перехода в НСО, который принят в ОТО неверен. Реальные ускоренные СО они не (псевдо)римановские. Рассмотрите ящик, который ускоряется в одном направлении. В таком ящике пространство-время станет физически анизотропным, т.е. в нем есть выделенное направление, которое никаким координатным преобразованием исключить невозможно, кроме тех, которые соответствуют его остановке или обратному переходу в ИСО. В римановской геометрии, метрика локально изотропна, потому что она не содержит явной зависимости от какого либо направления. При больших ускорениях пространство-время в таком ящике псевдориманом не описывается. Как физику, Вам это должно быть понятно.
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911

Аватара пользователя
zblsv
Сообщения: 800
Зарегистрирован: Пт сен 25, 2009 3:59
Откуда: Иваново

Re: Неголономные координаты в явном виде

Номер сообщения:#13   zblsv » Вт мар 23, 2010 18:02

Кисантий писал(а):В таком ящике пространство-время станет физически анизотропным, т.е. в нем есть выделенное направление, которое никаким координатным преобразованием исключить невозможно, кроме тех, которые соответствуют его остановке или обратному переходу в ИСО.
Это то и значит, что данная система не инерциальная.
Кисантий писал(а):При больших ускорениях пространство-время в таком ящике псевдориманом не описывается.
Если Вы признаёте, что при малых ускорениях описывается, то встаёт вопрос, какие ускорения малые, а какие большие?
Мировая константа потребуется, а для неё -- соответствующий постулат, а для того -- соответствующие экспериментальные факты.
Слова уносит ветер...

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5688
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Неголономные координаты в явном виде

Номер сообщения:#14   Кисантий » Вт мар 23, 2010 22:07

>Мировая константа потребуется, а для неё -- соответствующий постулат,
На кой ляд Вам новая константа :?: В правильной теории, НСО это не какие то там абстрактные преобразования координат, а конкретный физический объект, состоящий из частиц и полей. Мы уже это обсуждали...типа метрика НСО с точностью до множителя это лагранжиан реальной физ.системы. Его отклонение от лагранжиана свободной частицы, как Вам известно, выражается только через известные константы.
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911

Аватара пользователя
zblsv
Сообщения: 800
Зарегистрирован: Пт сен 25, 2009 3:59
Откуда: Иваново

Re: Неголономные координаты в явном виде

Номер сообщения:#15   zblsv » Вт мар 23, 2010 23:33

Кисантий писал(а):На кой ляд Вам новая константа :?:
А чтобы отличить то ускорение, что мало, от того ускорения, что уже большое.
Если эта константа через скорость света выразится, например, то беспроблем.
Слова уносит ветер...

Ответить

Вернуться в «Теоретическая физика / Theoretical Physics»