Однородные релятивистские системы отсчета. Парадокс Белла. ОТО

(Доклады выставляются модераторами разделов)

Модераторы: morozov, mike@in-russia, Editor

Ответить
Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 29920
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Однородные релятивистские системы отсчета. Парадокс Белла. ОТО

Номер сообщения:#1   morozov » Вс фев 26, 2017 12:49

Не будем переписывать релятивистское движение в форме ЛЛ-2 (Задача в § 7. Четырехмерная скорость)

Заметим только, что там найдена связь между временем на плоскости Минековского t и собственным временем \tau. На самом деле тоже самое можно записать проще (Паули):
ct=\frac{c^2}{\alpha } \sinh {\frac{\alpha\tau}{c}}.
и второе уравнение для задания линии
x=\frac{c^2}{α} \cosh{\frac{ατ}{c}}.

К слову. Это параметрическое задание мировой линии эквивалентно уравнению
x^2 - (ct)^2 = \frac{\alpha ^2}{c^4}

Которое нам в дальнейшем не пригодится, я так думаю.

Ну, это всего лишь одна гиперболическая мировая линия с ней все ясно и очень давно. Она появляется в оной из самых старых и издаваемых книг по теории относительности.... может еще раньше....
............................................................................
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 29920
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Однородные релятивистские системы отсчета. Парадокс Белла. ОТО

Номер сообщения:#2   morozov » Вс фев 26, 2017 13:00

Случай системы отсчета, образованной точками, каждая из которых движется с заданным и одинаковым ускорением.

Поскольку мы говорим о релятивистских системах "одинаковость" ускорений должна пониматься только как результат локальных измерений, например установкой прибора (акселерометра) в данной точке.

Получило распространение ошибочное решение задачи нахождения однородно ускоренной системы. Оно легко принимается не только любителями, но и профессиональными физиками, квалификация которых не вызывает сомнений.
1. E Dewan & M Beran, Am. J. Phys. 27, 517, 1959.
2. Логунов А А Лекции по теории относительности (М.: Наука 1987).
3. Bell J S How to teach special relativity (Progress in Scientific Culture 1976, Vol 1, No 2, Reprinted in Bell (1987), pp. 67–80).
4. Gershtein S S, Logunov A A, "Bell J.S. problem", Physics of particles and nuclei, 29(5), 1998, pp. 463-468.
5. Bell's spaceship paradox. From Wikipedia, the free encyclopedia. June 2016‎.

Типичный пример рассуждений (Дж.Белл) две точки А и В (spaceship) ускоряются с одинаковым ускорением, измеряемым акселерометрами. Без каких либо доказательств принимается, что время в спейсшипах течет одинаково и их движение описывается rак функция собственного времени это записывается
x_A=f(\tau),\; x_B=f(\tau)+l
ОДНАКО. Время течет по разному в разных точках инерционных систем. Например
ЛЛ-2 § 84 писал(а):Уже в специальной теории относительности течение истинного времени различно для движущихся друг относительно друга часов. В общей же теории относительности истинное время течет различным образом и в разных точках пространства в одной и той же системе отсчета. Это значит, что интервал собственного времени между двумя событиями, происходящими в некоторой точке пространства, и интервал времени между одновременными с ними событиями в другой точке пространства, вообще говоря, отличны друг от друга.
Там же, для предельного случая для предельного случая c\rightarrow \infty можно найти эквивалентную запись
ds^2=(c^2+2φ)dt^2-d\mathbf{r}^2.
или при сравнении времен разных систем отсчета в одной точке
d\tau=\left (1+\frac{\alpha x}{c^2} \right )dt .
Это как раз тот результат. который получил Эйнштейн в 1907. Ясно что Белл и те, кто ему поверил, ошиблись. Теперь осталось выяснить как же выглядит эта самая система, с равными ускорениями отсчета.
Любая система отсчета должна иметь метрику асимптотически равную метрике
ds^2=g_{00}dt^2-d\mathbf{r}^2=(c^2+2φ)dt^2-d\mathbf{r}^2,
где φ - птенциал. В пределе малых размеров φ=\alpha x
Метрика Логунова сюда не вписывается. Вот старый пост:
ahasheniigor писал(а):
S.A. Podosenov писал(а): Думайте, коллега, думайте! Это только начало пути!
Да о чем тут думать-то? Метрический тензор (20.23) из книги Логунова:
g_{00}=1,\quad g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1,\quad g_{01}=g_{10}=-\sinh(wx^0),
Его определитель:
\sqrt{-g}=\cosh(wx^0)
Обратный тензор:
g^{00}=\cosh^{-2}(wx^0),\quad g^{11}=-\cosh^{-2}(wx^0),\quad g^{22}=g^{33}=-1,\quad g^{01}=g^{10}=-\frac{\sinh(wx^0)}{\cosh^{2}(wx^0)},
Из нижнеиндексных символов Кристоффеля (ЛЛ2 86.2) аж один отличен от нуля:
\Gamma_{1,00}=-w\cosh(wx^0)
Отсюда, что я и писал стопицот раз:
\Gamma^i_{00}g_{ij}\Gamma^j_{00}=\Gamma_{1,00}g^{11}\Gamma_{1,00}=-w^2\left(=-\frac{w^2}{c^4}\right)
Последняя скобка возникает при пересчете из используемой при вычислениях системы единиц, в которой с=1. Жалобы по поводу обозначений для гиперболического синуса и косинуса прошу предъявлять непосредственно к теху.

Можно спорить о том, что будет показывать акселерометр наблюдателя сидящего в точке с постоянными координатами, особенно с учетом того, что акселерометр показывает векторную величину, а приведенная формула дает выражения только для четырехквадрата этой величины.

Отдельно обращение ко всем модераторам и к админу - меня ЗАКОЛЕБАЛ недавно введенный здесь автоматический и больной на всю голову корректор лексики, незнакомый с азами физической и математической терминологии (вот стопицот он почему-то не исправляет а Кристоффеля на крестителя завсегда).
Однако...
Ускорение не есть собственное ускорение. Это ускорение с точки зрения инерциальной системы, мы это знали всегда, естественно. См. viewtopic.php?p=108516#p108516

Там же находим простое выражение для ускорения относительно сопутствующей системы отсчета (учебник Сажина)
Изображение
Оно действительно простое при скорости равной нулю, как я нашел несколько ранее в этой теме
F^1=- c^2 \Gamma_{00}^1.\:\: \:\: \:\: \:\: \:\:(12)
или в правильных обозначениях
\frac{d^2x^1}{dt^2}=- c^2 \Gamma_{00}^1=-с^2g^{11} \Gamma_{100}=g\cosh^{-1}(gx^0)
или что-то в этом роде.
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 29920
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Однородные релятивистские системы отсчета. Парадокс Белла. ОТО

Номер сообщения:#3   morozov » Пн фев 27, 2017 19:28

Систему
\begin{matrix}x=\frac{c^2}{α} \cosh{\frac{ατ}{c}},\\ct=\frac{c^2}{\alpha } \sinh {\frac{\alpha\tau}{c}}.\end{matrix}

можно преобразовать, ничего не попортив, с помощью масштабного преобразования:
\begin{matrix}kx=\frac{c^2}{α} \cosh{\frac{ατ}{c}}+b_0,\\ckt=\frac{c^2}{\alpha } \sinh {\frac{\alpha\tau}{c}}.\end{matrix}
Остается некий произвол выбора k, но мы уже примерно 110 лет знаем что время в ускоренных системах зависит определенным образом. B однородно ускоренной системе
d\tau= \exp\frac{\alpha x}{c^2} dt
Ну, а если использовать приближение
d\tau=\left (1+\frac{\alpha x}{c^2} \right )dt
то получим всенародно любимую систему Меллера, которую иногда называют системой Риндлера, который опоздал с этим лет на двадцать.

О там какая это полезная вещь можно узнать здесь
https://www.researchgate.net/profile/Va ... auNQNw7A1w
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Марадонна
Сообщения: 2
Зарегистрирован: Вс фев 12, 2017 10:52

Re: Однородные релятивистские системы отсчета. Парадокс Белла. ОТО

Номер сообщения:#4   Марадонна » Вт фев 28, 2017 16:36

а что есть те, кто не знает о полезности этой вещи?)

Ответить

Вернуться в «Сообщения, доклады / Reports»