Уравнение Эйнштейна

(Доклады выставляются модераторами разделов)

Модераторы: morozov, mike@in-russia, Editor

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5557
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Уравнение Эйнштейна

Номер сообщения:#46   Кисантий » Пт сен 29, 2017 15:41

>В слабых полях решение Шварцшильда этому критерию удовлетворяет. Следовательно и с этой стороны все у меня в порядке.
так надо сравнить не с решением, а с экспериментальными тестами на которых проверяли ОТО и скалярно тензорные теории.
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 30222
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Уравнение Эйнштейна

Номер сообщения:#47   morozov » Пт сен 29, 2017 17:24

Все эксперименты в обязательном порядке сверяются с решениями уравнения Эйнштейна. Пока никаких неожиданностей не было. Поэтому достаточно сверить решения, например, с решением Шварцшильда.
На уровне одного процента решения совпадают на расстоянии нескольких радиусов Шварцшильда.

Символы Кристоффеля решения Шварцшильда и моего асимптотически равны. Значит никакой заметной разницы нет между движением, описываемым этими двумя метриками нет при r>10r_0.
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5557
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Уравнение Эйнштейна

Номер сообщения:#48   Кисантий » Пт сен 29, 2017 21:40

morozov писал(а):
Пт сен 29, 2017 13:33
Я не про это, а про то что настоящее решение шварцшильда не имеет горизонта и именно с ним и нужно сравнивать Ваше решение.
В конечном счете вопрос о правильности метрики сводится к экспериментальным данным. В слабых полях решение Шварцшильда этому критерию удовлетворяет. Следовательно и с этой стороны все у меня в порядке.
Вы понимаете, что существует континуум метрик для которых это верно.
Из этого континуума нужно выбрать одно, если это возможно, единственное. Для этого существуют принципы - наиболее правдоподобные законы законов, которые пока не подводили. Например, законы сохранения или принцип относительности.
Кисантий писал(а):
Пт сен 29, 2017 1:38
Правильное решение шварцшильда есть в эйнштейновском сборнике.

Я не в курсе, что называется правильным решением. Но это совершенно не важно, потому как уравнение Эйнштейна не есть точное, поскольку в его правой части нет существенного компонента источника поля - энергии самого поля. Эта малая добавка на самом деле существенна, простенькая задачка демонстрирует, что учет этой добавки в ньютоновском пределе дает результат, сравнимый с результатом Шварцшильда
https://www.researchgate.net/publicatio ... eviewImage
Уравнение Эйнштейна - слабое звено Теории. Как его решать и каков смысл его решений не имеет никакого значения. От него надо отказаться, как от уравнения для метрики. При этом оно занимает почетное место - с его помощью, зная метрику, можно вычислить тензор энергии-импульса вещества+поля.
https://www.researchgate.net/publicatio ... in_Russian
Решение нового уравнения, пока только для изотропного пространства просты и обладают свойством мультипликативной суперпозиции. Главное, что появились новые решения, которые как нельзя кстати для многих наблюдаемых данных, поскольку эти решения могут иметь значение для масштабов, где ньютоновские силы не играют большой роли:
https://www.researchgate.net/publicatio ... ationTitle
>с его помощью, зная метрику, можно вычислить тензор энергии-импульса вещества+поля.
это постулат который ниоткуда не следует.
и как Вы собираетесь вычислять метрику в общем случае :?:
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 30222
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Уравнение Эйнштейна

Номер сообщения:#49   morozov » Сб сен 30, 2017 1:09

Кисантий писал(а):
Пт сен 29, 2017 21:40
это постулат который ниоткуда не следует.
Основное содержание работы Эйнштейн-Гроссман 1913 года.

Требовалось найти тензор, функцию метрического тензора, содержащую производные порядка не выше второго в нерелятивистском пределе переходящую в оператор Лапласа. Эйнштейн показал, что в правой части должен стоять тензор энергии-импульса вещества и поля.
p0272-sel.png
Возник соблазн назвать это уравнением для метрики.
p0243-sel.png
Однако для этого требовалось вычислить тензор энергии-импульса поля. Два года Эйнштейн бился над этой задачей. В результате получилось то, что получилось -уравнение в котором энергия поля исключена. Большая удача, что это уравнение верно описывало прецессию перигелия Меркурия. За сто лет накопилось большое количество доказательств верности ОТО, а вместе с тем росло и доверие к уравнению Эйнштейна, которое стало отождествляться с Теорией.
На самом деле "уравнение" предложенное в 1913 году всего лишь соотношение между тензором Эйнштейна и тензором энергии-импульса.
Кисантий писал(а):
Пт сен 29, 2017 21:40
и как Вы собираетесь вычислять метрику в общем случае :?:
Пространство изотропно, по крайней мере нет причин считать иначе. В этом случае все просто,
решение уравнения
◻ \psi = 4 πT
дает требуемый метрический тензор
ds^2 = \exp (2 \psi) \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b,
где \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b - линейный элемент плоского пространства.
Это прекрасно сработало для задачи Шварцшильда. Даже сверх ожидаемого, поскольку появилось другое решение - выталкивающие поле, не имеющие затравочной массы. Просто поле само по себе. Я уверен, за это решение должны ухватиться астрофизики.
График-все.gif
Похоже, для описания гравитационных волн придется использовать неизотропные уравнения
https://www.researchgate.net/publicatio ... ationTitle
Но это уже другая проблема, возможно не моя.
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5557
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Уравнение Эйнштейна

Номер сообщения:#50   Кисантий » Сб сен 30, 2017 6:41

Ваше уравнение для скалярного поля, не общековариантно, а только лопенцинвариантно :wink:
фактически у Вас имеется диперенцируемое многобразие M на котором Вы ввели метрику минковского.
Далее Вы строите метрику и объявляете ее физической метрикой на этом же самом М.
В результате Вы имеете некоторую чисто полевую ,биметрическую теорию грапитации с двумя метриками.
Против таких теорий никто из теоретиков никогда особенно не возражал.
Но в отличие от ОТО не одна из них не прошла экспериментальных тестов в сильных полях
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0 ... 0%B7%D0%BC
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 30222
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Уравнение Эйнштейна

Номер сообщения:#51   morozov » Вс окт 01, 2017 0:09

Кисантий писал(а):
Сб сен 30, 2017 6:41
фактически у Вас имеется диперенцируемое многобразие M на котором Вы ввели метрику минковского.
Метрика минковского это только тривиальное решение \psi = const уравнения
◻ \psi = 4 πT
Это нормально.
Все интересные решения имеют ненулевой тензор Римана и все его свертки. Т.е. более кривые, чем решения уравнения Эйнштейна у которого с этим проблемы, например, тензор Римана и скалярная кривизна нулевые.
Кисантий писал(а):
Сб сен 30, 2017 6:41
Ваше уравнение для скалярного поля, не общековариантно, а только лопенцинвариантно :wink:
При всем уважении, но я доверяю больше мнению Эйнштейна, и собственному.
Не верите? Это легко проверяется. Это как раз одно из самых простых общековариантных уравнений.
Кисантий писал(а):
Сб сен 30, 2017 6:41
В результате Вы имеете некоторую чисто полевую ,биметрическую теорию грапитации с двумя метриками.
Вы будете долго искать другую метрику... и вряд ли найдете...
Для каждой задачи Коши единственное решение
ds^2 = \exp (2 \psi) \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b,
Кисантий писал(а):
Сб сен 30, 2017 6:41
Но в отличие от ОТО не одна из них не прошла экспериментальных тестов в сильных полях
Не было никаких тестов в сильных полях. Это старая добрая ОТО, с другим полевым уравнением, имеющим решения в умеренных полях совпадающее решение с решениями уравнения Эйнштейна.
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5557
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Уравнение Эйнштейна

Номер сообщения:#52   Кисантий » Вс окт 01, 2017 20:39

>Это как раз одно из самых простых общековариантных уравнений.
общековариантный оператор Даламбера на римановском многообразии M зависит известным образом от метрики g_ik этого многообразия.
Вы же используете оператор Даламбера на пространстве Минковского а не на многообразии M. Затем Вы вводите метрику на М а это чисто полевой подход. Такой оператор тоже общековариантный в смысле что его можно записать в криволинейных координатах в минковском.

Если же Вы строите геометрическую теорию, то должны сразу использовать даламбертиан зависящий от Вашей однородной метрики и тогда Ваше простое линейное уравнение будет нелинейным.

>Не было никаких тестов в сильных полях
само собой были
Сильные поля наблюдаются в компактных объектах, таких как белые карлики, нейтронные звёзды . Экспериментальные возможности проверки теорий гравитации в сильных полях включают в себя описание стабильности и колебаний белых карликов и нейтронных звёзд, замедления пульсаров, эволюцию орбит тесных двойных звёзд (и особенно двойных пульсаров)
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 30222
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Уравнение Эйнштейна

Номер сообщения:#53   morozov » Пн окт 02, 2017 5:55

Сильные поля наблюдаются в компактных объектах, таких как белые карлики, нейтронные звёзды .
Я определяю сильные поля как поля в которых мое решение задачи Шварцшильда начинает существенно отличаться от решение Шварцшильда.
Это где-то
r > 5r_0
это намного меньше всех известных двойных систем. Видимо более тесные стемы просто не устойчивы и сливаются. Поэтому динамика слияния, обнаруженная при наблюдении гравитационных волн может служить тестом, в котором может быть обнаружена отличие вариантов ОТО.
общековариантный оператор Даламбера на римановском многообразии M зависит известным образом от метрики g_ik этого многообразия.
при переходе к другим координатам оператор Даламбера преобразуется вместе с метрикой и этот оператор называется, Вы не поверите, оператором Даламбера.
Точно так же, как и в криволинейных координатах. Вы наверняка учили УрМатФиз и знаете, что оператор Даламбера в любых криволинейных координатах оператор Даламбера.

Метрика плоского пространства
ds^2 = \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b,
но она у нас нигде не фигурирует.
Метрика пространства с ненулевой кривизной
ds^2 = \exp (2 \psi) \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b,
Тут нет пространства Минковского. Это то, что называется поле в ОТО.
Параметр \psi Вычислен в тех же координатах...
.. Вы правы, тут есть нечто не очень понятное. Но тут не должна фигурировать вторая метрика.

По Эйнштейну полевая теория это теория в плоском пространстве (он допускал такую возможность, книга 1921 год). Тут же плоского пространства нет.
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5557
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Уравнение Эйнштейна

Номер сообщения:#54   Кисантий » Пн окт 02, 2017 18:13

Вы наверное имели в виду следующее:

решение уравнения
◻_{\eta} \psi = 4 πT
дает скалярное поле
\psi
зная которое мы вводим по определению требуемый метрика (или что эквивалентно метрический тензор)
ds^2 = \exp (2 \psi) \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b,
где \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b - линейный элемент плоского пространства.

>Метрика плоского пространства
ds^2 = \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b,
но она у нас нигде не фигурирует.
оно фигурирует у Вас в исходном полевом уравнении
◻_{\eta} \psi = 4 πT
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 30222
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Уравнение Эйнштейна

Номер сообщения:#55   morozov » Пн окт 02, 2017 19:45

Кисантий писал(а):
Пн окт 02, 2017 18:13
но она у нас нигде не фигурирует.
Вот именно.
Результат
ds^2 = \exp (2 \psi) \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b,
И ничего кроме.

В прямоугольных координатах \eta_{ab} = 1. В криволинейных, например сферических вид естественно другой.
см., например https://www.researchgate.net/publicatio ... ationTitle

Можете поискать в тексте метрику Минковского, найдете - я ее выброшу за ненадобностью.
Метрика
ds^2 = \exp (2 \psi) \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b,
в этом тексте более кривая, чем соответствующее решение Шварцшильда, у которого свертки нулевые R_{ik}=G_{ik}=R=0. , причем если трактовать G_{ik} как тензор энергии - импульса получится все правдоподобно, т.е. энергия и поперечные натяжения совпадающие с соответствующими величинами в теории Ньютона.
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5557
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Уравнение Эйнштейна

Номер сообщения:#56   Кисантий » Пн окт 02, 2017 23:06

morozov писал(а):
Пн окт 02, 2017 19:45
Кисантий писал(а):
Пн окт 02, 2017 18:13
но она у нас нигде не фигурирует.
Вот именно.
Результат
ds^2 = \exp (2 \psi) \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b,
И ничего кроме.

В прямоугольных координатах \eta_{ab} = 1. В криволинейных, например сферических вид естественно другой.
см., например https://www.researchgate.net/publicatio ... ationTitle

Можете поискать в тексте метрику Минковского, найдете - я ее выброшу за ненадобностью.
Метрика
ds^2 = \exp (2 \psi) \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b,
в этом тексте более кривая, чем соответствующее решение Шварцшильда, у которого свертки нулевые R_{ik}=G_{ik}=R=0. , причем если трактовать G_{ik} как тензор энергии - импульса получится все правдоподобно, т.е. энергия и поперечные натяжения совпадающие с соответствующими величинами в теории Ньютона.

>Результат
ds^2 = \exp (2 \psi) \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b,
И ничего кроме.
это не результат а просто пределение как и в любой нормальной полевой теории.
Результат это решение уравнения для скалярного поля:
◻_{\eta} \psi = 4 πT
дает скалярное поле
\psi
>Можете поискать в тексте метрику Минковского, найдете - я ее выброшу за ненадобностью.
эта метрика входит в Ваше линейное уравнение
◻_{\eta} \psi = 4 πT
оператор даламбера
◻_{\eta}
определен в минковском
а не на римане с Метрика
ds^2 = \exp (2 \psi) \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b,
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 30222
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Уравнение Эйнштейна

Номер сообщения:#57   morozov » Вт окт 03, 2017 1:23

определен в минковском
а не на римане с Метрика
да, это проблема. Я не могу сходу ответить. Думаю это проблема граничных условий. Я ведь не объявляю заранее метрику пространства в котором записано уравнение...

Ответ конечно не \psi, а тензор. В первой теории Нордстрема это было уравнение уравнение скалярного потенциала. У меня это параметр однопараметричекого метрического тензора... он будет однопарамерическим только для изотропных решений.
эта метрика входит в Ваше линейное уравнение
Я не вижу почему бы не быть уравнению линейным в римановом пространстве...
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5557
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Уравнение Эйнштейна

Номер сообщения:#58   Кисантий » Вт окт 03, 2017 1:49

>да, это проблема.
В полевой теории это не проблема.
Там есть скаляр \psi,или вектор или сразу тензорное поле которое считается гравитационным и динамические уравнения строятся сначала в минковском. Затем это тензорное поле дополнительно интерпретируется как метрический тензор физического пространства.

>Я не вижу почему бы не быть уравнению линейным в римановом пространстве...
в римановом пространстве Ваше уравнение имеет вид
◻_{g} \psi = 4 πT
где
g_{ab}= \exp (2 \psi) \, \eta_{ab} ,
коэффициенты оператора даламбера будут нелинейно зависить от скаляара \psi, а Ваше линейное уравнение появится в приближении малых \psi, что соответствует шварцшильду при r>>r_s.
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 30222
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Уравнение Эйнштейна

Номер сообщения:#59   morozov » Вт окт 03, 2017 12:29

коэффициенты оператора даламбера будут нелинейно зависить от скаляара
Во-первых линейно, Во-вторых я этого не делаю.
Имею право. Я, как принято в физике, не вывожу уравнение а предлагаю из разумных соображений вариант, который не слишком сложен и соответствует эмпирическим данным.
Однако я согласен с тем, что тут есть над чем подумать.
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 5557
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Уравнение Эйнштейна

Номер сообщения:#60   Кисантий » Вт окт 03, 2017 12:40

>Во-первых линейно
нет. подставьте свой тензор в последнюю формулу
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0 ... 1%80%D0%B0
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911

Ответить

Вернуться в «Сообщения, доклады / Reports»