Структура многообразия на R^4

Модераторы: morozov, mike@in-russia, Editor

Где мы живём?

На пространстве-многообразии
0
Голосов нет
На неотделимом пространстве
0
Голосов нет
Не знаю и знать не хочу
3
100%
 
Всего голосов: 3

AlexDem
Сообщения: 74
Зарегистрирован: Вт сен 11, 2007 14:16
Откуда: Рыбинск-Переславль
Контактная информация:

Структура многообразия на R^4

Номер сообщения:#1   AlexDem » Пн сен 17, 2007 16:43

Есть интересный вопрос, на который ответа я что-то не нахожу. Умные люди сообщили мне буквально следующее:
Пространство Минковского в топологическом смысле - это обычное R^4, только снабжённое дополнительной структурой - интервалом ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 (под дифференциалами здесь можно понимать просто разности координат двух точек). А в качестве топологической метрики можно взять евклидову метрику d\rho^2=c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2.

Вообще, пространство-время в СТО и ОТО - это обычное гладкое многообразие с дополнительной структурой, задаваемой квадратичной формой $ds^2$ на касательном пространстве (ну, может быть, придётся исключить сингулярности). Метрика (в обычном топологическом смысле) там существует, но она, в общем-то, никому не нужна. В частности, она не нужна для определения того, в одном ли месте находятся два объекта. "В одном месте" - это всегда "в одной точке пространства-времени".
- но вот откуда следует эта дополнительная структура, объяснить забыли.


Между тем, если рассматривать пространство Минковского "в лоб" как топологическое пространство, понимая интервал ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 как расстояние между точками (мнимое расстояние считаем бесконечным), то оно не будет удовлетворять аксиоме отделимости T2 и по определению не будет являться многообразием. Хотя вся дифгеометрия строится только на многообразиях. Собственно вопрос - из каких физических соображений можно доказать, что пространство Минковского - многообразие, индуцированное некоторой дополнительной евклидовой (или другой - тогда какой?) метрикой?


Некоторые соображения, на которых я основываюсь, изложены ниже:
Под "расстоянием" я не понимаю обычную метрику, определяемую в соответствии с аксиомами метрики (праметрика нарушает их все, кроме неотрицательности). "Растоянием" можно назвать любое неотрицательное число, поставленное в соответствие паре (x, y).

И если "метрика" Минковского не является таким "расстоянием" между точками 4-d пространства, то какая - является? Там же и по прямой ссылке оттуда сказано, что праметрическое пространство с топологией, индуцированной праметрикой, есть наиболее общий класс пространств, топология которых может быть определена посредством последовательностей, а все пространства с первой аксиомой счётности являются секвенциальными (sequential). В литературе приведена книга "Топология" под редакцией Архангельского, которой мне найти не удалось, но приведённой информации, наверное, можно доверять.

Если абстрагироваться от физической стороны вопроса, и рассмотреть наше 4-d пространство как математический объект, то оно будет иметь счётную базу (странно, если не так). А значит будет секвенциальным (в противном случае, по-моему, не локально-связным). Если будет секвенциальным - то на нём можно ввести праметрику. Если "метрика" Минковского для этого не подходит, то какая тогда подходит?
Если на роль метрики подходит только евклидова метрика, то как это обосновать? Почему именно евклидова?

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32667
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Номер сообщения:#2   morozov » Пн сен 17, 2007 18:10

я не вижу особей трагедии в том, что метрика не положительна..
это на мой взгляд единственное, что слегка необычно
""Топология" под редакцией Архангельского"
о, уже книги под редакцией! впрочем это нормально
Если абстрагироваться от физической стороны вопроса, и рассмотреть наше 4-d пространство как математический объект, то оно будет иметь счётную базу (странно, если не так).
ерунда какая-то ..впрочем если база это не базис, то я просто не знаю о чем это...

"На неотделимом пространстве"

а это что?
С уважением, Морозов Валерий Борисович

AlexDem
Сообщения: 74
Зарегистрирован: Вт сен 11, 2007 14:16
Откуда: Рыбинск-Переславль
Контактная информация:

Номер сообщения:#3   AlexDem » Пн сен 17, 2007 18:29

morozov писал(а):ерунда какая-то ..впрочем если база это не базис, то я просто не знаю о чем это...

"На неотделимом пространстве"

а это что?
Не, здесь никаких подвохов нет - это термины Общей топологии. Например, Энгелькинг "Общая топология":
Семейство $B \ in Q$ называется базой топологического пространства (X, Q) если каждое непустое открытое подмножество
пространства X можно представить в виде объединения некоторого подсемейства семейства B.
Неотделимое топологическое пространство - это такое, для которого не выполняется аксиома отделимости T2, то есть не выполняется условие, что любые две точки имеют непересекающиеся окрестности.

Насчёт неположительности - согласен, и не уверен, что это допустимая конструкция. Но по смыслу - мнимый интервал между точками A и B ведь означает, что мы не можем попасть из A в B...

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32667
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Номер сообщения:#4   morozov » Пн сен 17, 2007 20:04

"Не, здесь никаких подвохов нет - это термины Общей топологии. Например, Энгелькинг "Общая топология":"

Вы будете долго смеяться, но я собирался податься в топологию....
и Архангельский, будучи ассистентом у Александрова. вел семинарские занятия.. правда предмет был "аналитика"..
пронесло...

"Неотделимое топологическое пространство - это такое, для которого не выполняется аксиома отделимости T2, то есть не выполняется условие, что любые две точки имеют непересекающиеся окрестности. "

спасибо, понятно...

"Насчёт неположительности - согласен, и не уверен, что это допустимая конструкция. Но по смыслу - мнимый интервал между точками A и B ведь означает, что мы не можем попасть из A в B..."

Почему нет?
не вижу тут препятствий...в физике полно "мнимых" величин... есть вариант электродинамики с мнимым магнитным полем... очень компактно и симпатично...жаль, что это нельзя ввести так как волны записываются в комплексной форме, что тоже очень удобно, опять же амплитуда вероятности похоже никогда не записывается в действительной форме....
ГЛАВНОЕ не забыть определения...

почему эта мера есть мера понятно она не меняется при вращениях... в конце концов это не отменяет рулетки и часов как мер....
мне кажется удобно иметь несколько мер... в данном случае по крайней мере...
С уважением, Морозов Валерий Борисович

AlexDem
Сообщения: 74
Зарегистрирован: Вт сен 11, 2007 14:16
Откуда: Рыбинск-Переславль
Контактная информация:

Номер сообщения:#5   AlexDem » Пн окт 01, 2007 12:34

morozov писал(а):Вы будете долго смеяться, но я собирался податься в топологию
А я собирался пойти на физика :). По поводу "Топологии" под редакцией - той англоязычной ссылке, что я приводил (A.V. Arkhangelskii, L.S.Pontryagin, General Topology I, (1990) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-18178-4) вроде соответствует том 17 в составе энциклопедии "Итоги Науки и Техники". Архангельский там в том числе и автор - так что я не вполне корректно выразился.
morozov писал(а):
AlexDem писал(а):Но по смыслу - мнимый интервал между точками A и B ведь означает, что мы не можем попасть из A в B...
Почему нет? не вижу тут препятствий...в физике полно "мнимых" величин...
Дело в том, что определяя расстояние d(x, y) между точками пространства, мы определяем его топологию (если она согласована с этим расстоянием). Например, топология евклидова пространства определяется посредством задания системы окрестностей (открытых шаров) d(x, y) < r, где r - всевозможные радиусы шаров (рациональные числа), а d(x, y) - евклидова метрика. Если в качестве d(x, y) взять другую функцию, то таким же образом мы сможем задать другую топологию.

Расстояние d(x, y) - не обязательно метрика в строгом смысле слова. Поскольку метрика должна удовлетворять аксиомам метрического пространства. Однако, для пространств со счётной базой (даже шире - первая аксиома счётности - счётность базы в каждорй точке) выполнение всех аксиом метрики не является необходимым: как указано вот здесь и здесь, для задания топологии пространства последовательностей достаточно условия неотрицательности расстояния d(x, y) >= 0 и нулевого расстояния точки самой с собой d(x, x) = 0.

С мнимым расстоянием проблема в том, что оно не даёт возможности задать открытые шары, определяющие топологию пространства-времени, поскольку совершенно непонятно, как трактовать это мнимое расстояние. Поэтому приходится прибегать к ухищрениям - я предложил считать пространственно-подобный интервал бесконечным, а Бим и Эрлих в книге "Глобальная лоренцева геометрия" (которую посоветовал Котофеич) - нулевым.

Нулевое расстояние между точками, из которых нельзя попасть друг в друга, для меня выглядит странновато - ведь система окрестностей топологии задаёт близость точек, а с нулевым расстоянием оказывается, что пространственно-разделённые точки находятся бесконечно близко. Но авторы, похоже, не имеют в виду согласованности топологии с "метрикой" Минковского (поскольку такая топология не будет удовлетворять аксиоме отделимости T2, и пространство не будет являться многообразием, так как оно не хаусдорфово). И я, скорее всего, открою ещё одно обсуждение, посвящённое указанной книге.


Хорошей вводной статьёй по топологии является Гликлих "О понятиях топологического пространства". Можно обратить внимание как сильно зависят свойства пространства от аксиом отделимости, которым оно удовлетворяет. Интересно поведение пределов на разных топологических пространствах.

Также могу рекомендовать книгу Колмогоров "Элементы теории функций и функционального анализа" для несколько более глубокого изучения, и ещё в качестве простейшей обзорной - Болтянский, Ефремович "Наглядная топология", библиотечка "Квант" ?21 (она очень неформальна, но зато даёт базовое представление о методах как общей топологии, так и алгебраической топологии).

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32667
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Номер сообщения:#6   morozov » Пн окт 01, 2007 13:17

"Также могу рекомендовать книгу Колмогоров "Элементы теории функций и функционального анализа" "
где-то лежит .. НО пока я не вижу смысла лезть в нее....
С мнимым расстоянием проблема в том, что оно не даёт возможности задать открытые шары, определяющие топологию пространства-времени, поскольку совершенно непонятно, как трактовать это мнимое расстояние. Поэтому приходится прибегать к ухищрениям - я предложил считать пространственно-подобный интервал бесконечным,
согласен, это проблема...
но прежде чам говорить о возможности я бы хотел понять.. зачем?
при этом я не имею ввиду чего-то сильно утилитарное....
"И я, скорее всего, открою ещё одно обсуждение, посвящённое указанной книге. "
хорошая идея
С уважением, Морозов Валерий Борисович

AlexDem
Сообщения: 74
Зарегистрирован: Вт сен 11, 2007 14:16
Откуда: Рыбинск-Переславль
Контактная информация:

Номер сообщения:#7   AlexDem » Пн окт 01, 2007 13:41

morozov писал(а):но прежде чам говорить о возможности я бы хотел понять.. зачем?
Странный вопрос - зачем... Потому что мне не понятно. Непонятно, откуда физически берётся дополнительная структура кроме "метрики" Минковского.

Вот тут вроде получилось, что пространство со счётной базой будет Хаусдорфовым (или отделимым, т.е. будет удовлетворять аксиоме T2), только если оно будет метризуемым, то есть только если его топология будет согласована с настоящей метрикой. "Метрика" Минковского таковой не является, поскольку не удовлетворяет аксиоме треугольника.
AlexDem писал(а):Да, ещё - если T1 справедлива, то регулярность (или T3 по Колмогорову) - уже довольно сильное условие для некоторых пространств, чтобы иметь возможность ввести полноценную метрику:
Энгелькинг, с.79 писал(а):Любое регулярное пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, нормально.
Колмогоров, с.98 писал(а):Для того, чтобы топологическое пространство со счётной базой было метризуемо, необходимо и достаточно, чтобы оно было нормально.
AlexDem писал(а):"Каждое хаусдорфово локально [би]компактное пространство регулярно" (Келли, с.198. Я лучше буду везде опускать приставку [би], чтобы не путаться - у Энгелькинга "локально компактное" соответствует "локально бикомпактному" у Келли). То есть - если пространство не регулярно, то оно либо не локально компактно, либо не хаусдорфово.
Евклидово и пространство Минковского - локально компактны, поэтому если T2 соблюдается, то топология должна индуцироваться полноценной метрикой, коей "метрика" Минковского не является. А если T2 не соблюдается, то пространство не может являться многообразием (потому что многообразие по определению - Хаусдорфово пространство). Поэтому и вопрос - из каких физических соображений получается эта дополнительная к Минковскому метрика, которая делает пространство многообразием?

J.F.

Номер сообщения:#8   J.F. » Пн окт 01, 2007 14:35

Хокинг С. Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени 1998

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32667
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Номер сообщения:#9   morozov » Пн окт 01, 2007 16:51

....только если оно будет метризуемым, то есть только если его топология будет согласована с настоящей метрикой. "Метрика" Минковского таковой не является, поскольку не удовлетворяет аксиоме треугольника.
вообще-то для изображения одномерного движения используются диаграммы {x, ct} при этом пользуются обычной эвклидовой метрикой ..
С уважением, Морозов Валерий Борисович

AlexDem
Сообщения: 74
Зарегистрирован: Вт сен 11, 2007 14:16
Откуда: Рыбинск-Переславль
Контактная информация:

Номер сообщения:#10   AlexDem » Пн окт 01, 2007 17:00

morozov писал(а):вообще-то для изображения одномерного движения используются диаграммы {x, ct} при этом пользуются обычной эвклидовой метрикой ..
Да, но "метрика" Минковского ведь псевдоевклидова. А метод световых конусов - может быть лишь приём, возможность спроецировать псевдоевклид на евклидову плоскость? Если прикинуть интервал по изотропному направлению, ведь он всегда будет нулевым...

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32667
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Номер сообщения:#11   morozov » Вт окт 02, 2007 1:42

Да, но "метрика" Минковского ведь псевдоевклидова.
Можно придумать континуум метрик... на каждый случай....
есть и эвклидова :
Изображение

ОДНАКО

Величина s очень полезна можно легко посчитать. например собственное время (длина линии)...

Изображение

имеет смысл кратчайшего времени перехода их точки 1 в точку 2.
причем величина всегда положительная (если мы не прквышаем скорость света), есть варианты метрики когда s чисто мнимая... но Изображение всегда положительная
С уважением, Морозов Валерий Борисович

AlexDem
Сообщения: 74
Зарегистрирован: Вт сен 11, 2007 14:16
Откуда: Рыбинск-Переславль
Контактная информация:

Номер сообщения:#12   AlexDem » Вт окт 02, 2007 16:57

morozov писал(а):Можно придумать континуум метрик... на каждый случай...
Можно и больше, если принять во внимание псевдо-метрики: 2^N, где N - мощность множества точек пространства (поставим по OX пары (x, y), по OY - числа расстояний, тогда число всевозможных функций будет 2^N), а число всевозможных топологий - ещё больше: 2^(2^N) (это - по подсказке более опытных товарищей, но вроде несложно доказывается, т.к. топология - это просто набор подмножеств).
morozov писал(а):есть и эвклидова :
Изображение

ОДНАКО

Величина s очень полезна можно легко посчитать. например собственное время (длина линии)...
Если честно - не вполне понял смысл этого Вашего "ОДНАКО" :). Математически "метрик" и пространств существует столько, что их не перечислишь, НО мы все живём в некотором определённом физическом пространстве. Какова "метрика" этого пространства (в удалении от особенностей)? Из экспериментов типа Майкельсона-Морли получается, что псевдоевклидова.

Топология, индуцированная псевдоевклидовой "метрикой", не может быть топологией многообразия, так как она не Хаусдорфова. Соответственно, должна быть какая-то ещё метрика, которая эту топологию задаёт. Но из каких физических экспериментальных данных она следует? Вот это - мне не ясно!

Например, мы можем придумать метрику, в которой я живу вблизи альфы Центавра, но какой в этом будет физический смысл? Никакого. Эта метрика никак не согласована с топологией пространства, поэтому бесполезна.

"Метрика" Минковского несёт вполне определённый физический смысл - интервал в ней оказывается инвариантной величиной. Но с топологией пространства-многообразия она тоже получается не согласованной, то есть топология многообразия индуцируется какой-то другой, настоящей в смысле аксиом метрикой (так я буду думать по крайней мере до тех пор, пока не разберусь с литературой, посоветованной Котофеичем).

PS: А всё же писать формулы по месту гораздо проще, чем вытягивать их с МехМата :)

AlexDem
Сообщения: 74
Зарегистрирован: Вт сен 11, 2007 14:16
Откуда: Рыбинск-Переславль
Контактная информация:

Номер сообщения:#13   AlexDem » Вт окт 02, 2007 18:11

AlexDem писал(а):PS: А всё же писать формулы по месту гораздо проще, чем вытягивать их с МехМата
А ещё - представьте вид форума с такими ссылками после того, как МехМат почистит свой кэш... :-P

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32667
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Номер сообщения:#14   morozov » Ср окт 03, 2007 0:37

AlexDem писал(а):
AlexDem писал(а):PS: А всё же писать формулы по месту гораздо проще, чем вытягивать их с МехМата
А ещё - представьте вид форума с такими ссылками после того, как МехМат почистит свой кэш... :-P
тут Вы правы. ни формулы ни текст особого смысла не имеют... , так упражнение для клавиатуры...

а если чесно s как метрика вполне вполне нормальная и положительная в досветовых скоростях и неравенство треугольника блюдется - прямая кратчайшая линия...
вроде все разумно устроено ....
С уважением, Морозов Валерий Борисович

AlexDem
Сообщения: 74
Зарегистрирован: Вт сен 11, 2007 14:16
Откуда: Рыбинск-Переславль
Контактная информация:

Номер сообщения:#15   AlexDem » Ср окт 03, 2007 13:33

morozov писал(а):тут Вы правы. ни формулы ни текст особого смысла не имеют... , так упражнение для клавиатуры...
Э-э-э, Валерий Борисович, если Вы так на мои предложения по улучшению форума реагировать будете, так я просто не буду ничего предлагать...
morozov писал(а):а если чесно s как метрика вполне вполне нормальная и положительная в досветовых скоростях и неравенство треугольника блюдется - прямая кратчайшая линия...
вроде все разумно устроено ....
Надеюсь, под s мы понимаем одно и то же, интервал в "метрике" Минковского:
Изображение?

В этой "метрике" неравенство треугольника не соблюдается. Само неравенство треугольника выглядит так:
Изображение

В "метрике" Минковского прямая является не кратчайшей, а длиннейшей линией между точками. Об этом можно почитать в Бим, Эрлих "Глобальная лоренцева геометрия", но прикинуть мы можем и здесь. Пусть на расстоянии 0.9 св. года от нас висит отражатель, отправим по направлении к нему со скоростью 0.9*c объект, через 2 года по нашим часам он к нам вернётся. Посчитаем интервалы:

ds(тело от нас до отражателя) = sqrt(1^2 - 0.9^2) = 0.44 св. года
ds(тело от отражателя до нас) = sqrt(1^2 - 0.9^2) = 0.44 св. года
ds(мы за два прошедших года) = sqrt(2^2 - 0^2) = 2 св. года

Очевидно, что неравенство треугольника не соблюдается, поскольку 0.44 + 0.44 < 2, а должно быть - больше. Домножение на 1/c ситуацию не изменит (тем более, что я посчитал в единицах c = 1).

В пространстве Минковского имеет место только обратное неравенство треугольника, но его аксиомы метрического пространства не предусматривают. Возможно, решение найдётся в тех книгах, что посоветовал Котофеич...

Ответить

Вернуться в «Дискуссионный клуб / Debating-Society»