Ускоренное движение в СТО для любителей и профессионалов

Модераторы: morozov, mike@in-russia, Editor

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 33362
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Ускоренное движение в СТО для любителей и профессионалов

Номер сообщения:#1   morozov » Пт мар 19, 2010 16:03

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика:
Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. П. Теория поля.? 8-е изд., сте-
реот.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.-536 с.-ISBN 5-9221-0056-4 (Т. II).

"? 20. Движение в постоянном однородном
электрическом поле
Рассмотрим движение заряда е в однородном постоянном
электрическом поле Е. Направление поля примем за ось х. Дви-
жение будет, очевидно, происходить в одной плоскости, которую
выберем за плоскость ху. Тогда уравнения движения (17.5) при-
мут вид
.....................
..................... (20,4)
.....................
..................... (20,5)
Таким образом, заряд движется в однородном электрическом
поле по цепной линии. "
Из формулы (20,4) и последней формулы задачи ?7 имеем
y\sim\tau \; \; \; \; \; \;
с учетом этого из (20,5) обозначив все, что можно константами k и g
x=k \cosh {g\tau}\; \; \; \; \; \;
иллюстрация этого для многих точек с одинаковыми траекториями в однородном поле

Изображение

Я не предвижу возражений, но вдруг... народ эту картинку игнорирует с год...неся при этом невероятную чушь или требуя преобразовать ЭТО в какие-то другие координаты...

...конечно картинка не для четвертого класса. Скорее для пятого, или даже для шестого.
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 33362
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: движение в СТО для фриков, любителей и профессионалов

Номер сообщения:#2   morozov » Пт мар 19, 2010 16:16

И что увидит тут идейный противник СТО?
- сокращения Лоренца нет!
Что вижу я?
- сокращение есть, и оно обусловлено эйнштейновской неодновременностью событий, одновременных в собственной системе отсчета.
Что видят сторонники Белла и академика от прорабов?
Да ничего не хотят видеть ... помалкивают.
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 6751
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Ускоренное движение в СТО для любителей и профессионалов

Номер сообщения:#3   Кисантий » Вс мар 21, 2010 9:13

morozov писал(а):Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика:
Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. П. Теория поля.? 8-е изд., сте-
реот.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.-536 с.-ISBN 5-9221-0056-4 (Т. II).

"? 20. Движение в постоянном однородном
электрическом поле
Рассмотрим движение заряда е в однородном постоянном
электрическом поле Е. Направление поля примем за ось х. Дви-
жение будет, очевидно, происходить в одной плоскости, которую
выберем за плоскость ху. Тогда уравнения движения (17.5) при-
мут вид
.....................
..................... (20,4)
.....................
..................... (20,5)
Таким образом, заряд движется в однородном электрическом
поле по цепной линии. "
Из формулы (20,4) и последней формулы задачи ?7 имеем
y\sim\tau \; \; \; \; \; \;
с учетом этого из (20,5) обозначив все, что можно константами k и g
x=k \cosh {g\tau}\; \; \; \; \; \;
иллюстрация этого для многих точек с одинаковыми траекториями в однородном поле

Изображение

Я не предвижу возражений, но вдруг... народ эту картинку игнорирует с год...неся при этом невероятную чушь или требуя преобразовать ЭТО в какие-то другие координаты...

...конечно картинка не для четвертого класса. Скорее для пятого, или даже для шестого.
Вы кажется еще недавно утверждали, что движение двух релятивистских электронов или ракет, не может осуществляться по такому закону :?:

morozov "Точное или приближенное но это никак не согласуется с предположением Логунова и Вашим тоже:"
Изображение[/quote]
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 6751
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: движение в СТО для фриков, любителей и профессионалов

Номер сообщения:#4   Кисантий » Вс мар 21, 2010 9:29

morozov писал(а):И что увидит тут идейный противник СТО?
- сокращения Лоренца нет!
Что вижу я?
- сокращение есть, и оно обусловлено эйнштейновской неодновременностью событий, одновременных в собственной системе отсчета.
Что видят сторонники Белла и академика от прорабов?
Да ничего не хотят видеть ... помалкивают.
>Что вижу я?- сокращение есть,
Плохо смотрите. Сокращения в такой системе просто запрещено законом движения электронов :wall:
>Что видят сторонники Белла и академика от прорабов?
Гинзбург и Ерошенко в УФН черным по белому пишут, что в такой системе Лоренцева сокращения нет :!:
http://ufn.ru/ufn95/ufn95_2/Russian/r952e.pdf
Выходит, что все это дело видят, а Вы нет :?:
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911

S.A. Podosenov
Сообщения: 961
Зарегистрирован: Ср июн 13, 2007 0:46

Re: Ускоренное движение в СТО для любителей и профессионалов

Номер сообщения:#5   S.A. Podosenov » Вс мар 21, 2010 14:26

Здравствуйте, Валерий Борисович! Спасибо за добрый совет. Я так и делал на старом компьютере, когда писал формулы в LaTeX. Сначала в Word, а затем копировал на форум. Беда в том, что когда печатаю с нового ноутбука, то формулы искажаются. Вот сейчас вижу формулы Кисантия и не вижу Ваших . Что касается графика, который Вы нарисовали, то это график траектории при исключенном времени ИСО \(t\). У ЛЛ формула (20.5) не изображает закон движения частицы как функцию времени \(t\) , а является траекторией частицы при исключенном времени \(t\) в евклидовой плоскости \( X,Y\) движения частицы . Закон движения частицы вдоль оси \(X\) выражается формулой (20.3). А закон движения вдоль оси \(Y\) формулой (20.4) . Формула (20.4) нам не нужна. Наша задача попроще и вдоль оси \(Y\) у нас движение отсутствует. ( В (20.5) формула гиперболического косинуса подходит, но задача из другой оперы) . Мы рассматриваем вдоль оси \( X\) движения множества электронов, покоящихся в начальный момент времени на этой оси. Чем Вам не нравятся формулы Кисантия (19) для двух электронов, разнесенных в начаьный момент на одинаковое расстояние и сохраняющее это расстояние в ИСО в любой момент времени \(\tau\) и даже (\(t)\)? Они соответствуют закону движения частиц базиса Логунова. Ваш график похож на график мировых линий в представлении Логунова и выражает собственное время как функцию координат Эйлера \(x^1 \) и лагранжевых параметров \(y^1\), играющих роль начальных координат. Давайте чуть - чуть их подправим, чтобы закон движения превратить в конгруенцию мировых линий для системы частиц и ими пользоваться. \[\tau=\frac{c}{a_0}arccosh \biggl(\frac{a_o}{c^2}(x^1-y^1)+1\biggr)\] (1)
Внешне график этой формулы напоминает Ваш график из (20.5). Однако совпадение является чисто внешним и отображает разные процессы. Спасибо за внимание.
Последний раз редактировалось S.A. Podosenov Пн мар 22, 2010 11:27, всего редактировалось 1 раз.

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 33362
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Ускоренное движение в СТО для любителей и профессионалов

Номер сообщения:#6   morozov » Вс мар 21, 2010 15:07

Плохо смотрите. Сокращения в такой системе просто запрещено законом движения электронов
Вы наверно в душе художник... "я так вижу!"
это не ответ.
Кстати сокращения нет в ЭТОЙ КООРДИНАТНОЙ СИСТЕМЕ.
y ~ собственному времени поэтому мы наблюдаем жесткую систему.

>Что видят сторонники Белла и академика от прорабов?
Гинзбург и Ерошенко в УФН черным по белому пишут, что в такой системе Лоренцева сокращения нет
http://ufn.ru/ufn95/ufn95_2/Russian/r952e.pdf
Огласите цитату если не трудно. Или просто покажите пальцем. Может я проглядел?
За одно, с каких пор они стали сторонниками Логунова?
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 33362
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Ускоренное движение в СТО для любителей и профессионалов

Номер сообщения:#7   morozov » Вс мар 21, 2010 15:12

Беда в том, что когда печатаю с нового ноутбука, то формулы искажаются. Вот сейчас вижу формулы Кисантия и не вижу Ваших .
Это нормально.
Надо ткнуть куда-то (точно не помню, может что-то плавающее), что б подключить программу которая обрабатывает формулы .

.... у меня проблемы сегодня с интернетом и со временем. откланиваюсь...
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 33362
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Ускоренное движение в СТО для любителей и профессионалов

Номер сообщения:#8   morozov » Вс мар 21, 2010 15:28

У ЛЛ формула (20.5) не изображает закон движения частицы как функцию времени t , а является траекторией частицы при исключенном времени t в евклидовой плоскости X;Y движения частицы .
Совершенно верно.
Только я изобразил совокупность частиц стартующих одновременно с линии у=0.
Формула (20.4) нам не нужна.

Сама по себе нет, но в сочетании с формулой связывающей время в ИСО с собственным временем очень важна.
Формула (20.4) нам не нужна. Наша задача попроще и вдоль оси Y у нас движение отсутствует.
Это у Вас отсутствует.
Давайте не будем отвлекаться...
Мы имеем реальное движение электронов однородном поле на картинке?
Или нет?
Все, что от вас требуется это ответить на этот вопрос. А уж потом если хотите будете "упрощать".
С уважением, Морозов Валерий Борисович

S.A. Podosenov
Сообщения: 961
Зарегистрирован: Ср июн 13, 2007 0:46

Re: Ускоренное движение в СТО для любителей и профессионалов

Номер сообщения:#9   S.A. Podosenov » Вс мар 21, 2010 15:49

Валерий Борисович! Мы наблюдаем классически жесткую систему, а не жесткую по Борну. В этом главный недостаток системы Логунова. Из вашего рисунка следует (как и из формул Кисантия и формул (2.5) и (2.6) книги ), что при \(t=const\) или \(\tau=const'\) в ИСО при движении базиса Логунова расстояние между мировыми сохраняется ( у Ерошенко и Гинзбурга смотрите в конце статьи ). А если Вы в любой точке мировой линии построите МСИСО и возьмете расстояние до соседней мировой линии вдоль пространственного репера МСИСО (т.е. в ортогональной мировой линии гиперповерхности ), то получите что расстояние между соседними мировыми линиями возрастает) по закону
\[dL^2=\cosh^2(a_0\tau/c)(dy^1)^2\]
или
\[dl^2=(1+a_0^2t^2/c^2)(dy^1)^2\]
Это следует из формул ( 84.6 ) и ( 84.7 ) ЛЛ2 вып. 1973 г.

S.A. Podosenov
Сообщения: 961
Зарегистрирован: Ср июн 13, 2007 0:46

Re: Ускоренное движение в СТО для любителей и профессионалов

Номер сообщения:#10   S.A. Podosenov » Вс мар 21, 2010 16:21

Замечаю во избежание недоразумений, что и у меня частицы стартуют вдоль оси \(X\) c \(Y=0\). Просто начальные координаты ( лагранжевы ), обозначаю буквой \(y^1\), хотя в начальный момент они находятся на оси \(X\). Просто лагранжевы координаты остаются постоянными вдоль любой мировой линии ( их физический смысл это номер частицы ). Буква \(y^1\) выбрана только из соображений удобства и не есть проекция на ось \(Y\). Ваша картинка, хотя и совпадает внешне с конгруенцией мировых линий базиса Логунова, но имеет совершенно другой смысл. Итак, в чем Ваше несогласие с формулой Логунова?

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 6751
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Ускоренное движение в СТО для любителей и профессионалов

Номер сообщения:#11   Кисантий » Вс мар 21, 2010 22:11

>Огласите цитату если не трудно. Или просто покажите пальцем. Может я проглядел?
Прошу прощения. Статья длинная и я выпустил из виду, что нужно читать все подряд, чтобы найти это место.
Касательно вопроса обсуждаемого в этой теме, нужно читать стр. 211, начиная с формулы (29), которая и есть простейшая форма преобразований Логунова, которые и задают НСОЛ, которую авторы обозначают K_N.
http://ufn.ru/ufn95/ufn95_2/Russian/r952e.pdf
Таким образом ясно, что против K_N , как системы отсчета возражений нет. Далее сказано, что "длина" стержня покоящегося в НСОЛ растет со временем, а в ИСО она постоянна. Остальные детали статьи касаются уже только дискуссии авторов с Л по поводу его заявлений о неправомерности сильного ПЭ. :mrgreen:
>За одно, с каких пор они стали сторонниками Логунова?
Напротив они не стали его сторонниками, а пытаются изо всех сил опровергнуть Л, обвиняя его в элементарной невнимательности...типа, посмотри пельмень, ведь ты же сам показал в своей писульке про задачу белла, что K_N
растягивается со страшной скоростью и опровергать ПЭ на ее основе просто некорректно. Таким образом ни против постановки задачи Белла ни против его с Логуновым формулы, возражений нет. Еще бы ведь на этой неправильной формуле и основаны все контраргументы авторов, касающиеся доводов Л против сильного ПЭ. :wink:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
С другой стороны формула Белла-Логунова не верна и на самом деле в случае ускорения a, удовлетворяющего условию (a/c)^2<1, растяжения физически нет. Растяжение станет заметным, только при
(a/c)^2>>1 или при огромных t. Таким образом авторы статьи, пытаются опровергуть аргументы Л против ПЭ, используя его же собственную абсолютно неверную формулу для собственной длины этого злополучного стержня. Короче сами себя поставили в нелепую ситуацию :D Как сказал Шариков, оба не правы :wall:
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 33362
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Ускоренное движение в СТО для любителей и профессионалов

Номер сообщения:#12   morozov » Пн мар 22, 2010 2:48

Теперь вернемся к моему примеру...
Какое это отношение имеет к сказанному Вами и Беллу?
Это жесткая система... а Белловская даже не равноускоренная... никакая.
Если заметили y\sim\tau \; \; \; \; \; \;
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 33362
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Ускоренное движение в СТО для любителей и профессионалов

Номер сообщения:#13   morozov » Пн мар 22, 2010 3:29

А если Вы в любой точке мировой линии построите МСИСО и возьмете расстояние до соседней мировой линии вдоль пространственного репера МСИСО
Где Вы тут увидели мировую линию?
и если уж пишите формулу... давайте не фантазировать. Не хватает Вашего традиционного "очевидно" ....
Для того, что бы узнать расстояние надо знать время. А потом можно написать формулу... Система жесткая и равноускоренная. Очевидно.
С уважением, Морозов Валерий Борисович

samsonovmihail
Сообщения: 294
Зарегистрирован: Вс янв 27, 2008 22:54

Re: Ускоренное движение в СТО для любителей и профессионалов

Номер сообщения:#14   samsonovmihail » Пн мар 22, 2010 4:58

СТО оперирует только равномерным движением и, следовательно, инерциальными системами.
Мало-ли, кто и что напишет в своих "учебниках"?
Источник излучает в неограниченном скоростном диапазоне, а приёмник реагирует только на 300000.

S.A. Podosenov
Сообщения: 961
Зарегистрирован: Ср июн 13, 2007 0:46

Re: Ускоренное движение в СТО для любителей и профессионалов

Номер сообщения:#15   S.A. Podosenov » Пн мар 22, 2010 9:32

Здравствуйте, Валерий Борисович! Так как Вы не соизволите читать длинных сообщений, то приходится повторяться. Все вопросы, которые Вы ставите вновь и вновь уже давно были разобраны подробно ранее. Поэтому, чтобы не наступать много раз на одни и те же грабли вынужден заниматься повтором. Эти материалы взяты из темы "НСО С ЗАДАННОЙ СТУКТУРОЙ"

2. Релятивистская жесткая равноускоренная НСО

В качестве НСО в классической механике Ньютона часто используются равноускоренные системы отсчета. Описание жестких равноускоренных НСО в классической механике не вызывает никаких затруднений. Поле скоростей \(v_a\) такой системы можно определить из уравнений в декартовых координатах
\[\frac{{\partial}{v_a}}{{\partial}{x_b}}+\frac{{\partial}{v_b}}{{\partial}{x_a}}=0\]
\[\frac{{\partial}{v_a}}{{\partial}{x_b}}-\frac{{\partial}{v_b}}{{\partial}{x_a}}=0\]
\[\frac{dv_a}{dt}=\frac{{\partial}{v_a}}{{\partial}t}+v_b\frac{{\partial}{v_a}}{{\partial}{x_b}}
=a,\,\,a=const\].(2.1)
Первое уравнение (2.1) означает равенство нулю тензора
скоростей деформаций, т.е. соответствует жесткому движению. Второе
отражает отсутствие вращений, т.е. равенство нулю тензора угловой
скорости, а третье отражает постоянство ускорения. Решение (2.1) имеет
вид
\[v_a= {a_a}t + v_{0a} \](2.2)
где \(v_{0a}\) - начальная скорость. Если ускорение постоянно по направлению, а по величине зависит от времени, то решение (2.1) получается в форме
\[v_a= \int_0^ta_a(\tau)d\,\tau + v_{0a}\](2.3)
Итак, классическая ньютонова механика допускает поступательное твердотельное движение с произвольным зависящим от времени ускорением. Если твердое тело поместить в однородное переменное силовое поле, то в процессе его движения никаких деформаций ( а, следовательно, и напряжений) не возникает.
Невзаимодействующие друг с другом одинаковые частицы пыли, помещенные в такое поле, при равных начальных скоростях движутся так же, как и твердое тело.
Чтобы обобщить классическую концепцию жесткого движения, Борн ввел определение, согласующееся со СТО и ОТО. Согласно этому определению, движение континуума называется жестким (в смысле Борна), если для любой пары частиц тела ортогональный интервал между соответствующими парами мировых линий частиц среды остается постоянным в течение движения. При этом, ортогональный интервал есть расстояние между двумя мировыми линиями частиц, измеренное вдоль бесконечно малой гиперповерхности, ортогональной к обеим мировым линиям частиц. Разница между классическим и релятивистским условиями жесткости состоит в выборе пространственных гиперповерхностей, вдоль которых измеряются расстояния между мировыми линиями частиц тела. При классическом рассмотрении в качестве гиперповерхностей выступают гиперплоскости одновременных событий. Недостатком классического рассмотрения жесткости является нековариантность этого условия относительно преобразований Лоренца, связывающего различные ИСО друг с другом. Очевидно, что гиперплоскости одновременности в одной из ИСО не являются гиперплоскостями одновременности в другой. В то время как борновское условие жесткости лишено этого недостатка. Ортогональность гиперповерхности мировым линиям частиц в одной из ИСО автоматически выполняется и в любых других ИСО. Отсюда понятно, что классически жесткое движение в общем случае не совпадает с движением жестким в смысле Борна. Математически условие жесткости по Борну эквивалентно обращению в нуль релятивистского тензора скоростей деформаций \(\Sigma_{\mu\nu}\).
Поэтому следовало ожидать, что при релятивистском рассмотрении, если положить \(\Sigma_{\mu\nu}=\Omega_{\mu\nu}=0\) и определить в согласии с Ландау и Лифшицем " релятивистское равноускоренное движение, как прямолинейное движение, при котором остается постоянной величина ускорения \(F\) в собственной ( в каждый
данный момент времени ) системе отсчета ", то мы получим в результате поле 4 - скорости \(V_\mu\) релятитивистской жесткой НСО в СТО.

Такая программа была реализована автором. В качестве собственной системы отсчета использовалась система тетрад ,удовлетворяющая переносу Ферми - Уолкера , (Синг, ОТО) в базисе которого задавалось постоянное ускорение. При этом оказалось, что такое движение не может быть реализовано в пространстве Минковского, т.к. полученная система уравнений оказалась несовместной.
Таким образом, в отличие от классической, в релятивистской механике континуума не может быть такой ситуации, когда ускорение всех частиц в сопутствующей системе постоянно и одинаково и конгруенция мировых линий частиц среды жесткая в смысле Борна.
Математически это означает , что если в правой части (1.7) положить \(\Sigma_{\mu\nu} =\Omega_{\mu\nu}= 0\), а величину \(g_{\mu\nu}F^{\mu}F^{\nu}=const\), то левая часть
не обратится в нуль. Следовательно, в пространстве Минковского, где тензор кривизны тождественно равен нулю, не существует жесткой глобально равноускоренной НСО.
Равноускоренная система Меллера может быть реализована по схеме , если считать, что одна из лагранжевых частиц , находящаяся в начальный момент времени в начале эйлеровой системы координат, движется с постоянным ускорением в сопутствующей тетраде, а остальные лагранжевы частицы движутся таким образом, чтобы конгруенция мировых линий всех частиц остается жесткой по Борну. Однако, как было отмечено ранее, каждая из лагранжевых частиц движется хотя и с постоянным ускорением, но эти ускорения не равны друг другу. (Более подробно эти вопросы будут обсуждаться далее при рассмотрении релятивистской теории упругости.)
Следовательно , пространство Минковского оказывается " тесным", чтобы удовлетворить одновременно критериям жесткости и равноускоренности. В связи с этим обстоятельством возникает вопрос. Как будет двигаться совокупность одинаковых невзаимодействующих друг с другом частиц, если их поместить в постоянное однородное силовое поле, когда начальные скорости всех частиц равны нулю?
Для конкретности рассмотрим движение заряженной невзаимодействующей пыли в постоянном однородном электрическом поле. Такая задача решена в Логуновым. В отличие от системы Меллера, каждая из частиц движется с постоянным в собственной
системе отсчета ускорением и их совокупность образует базис релятивистской равноускоренной НСО . Однако такая НСО не является релятивистски жесткой. Факт возникновения зависящих от времени деформаций при движении в однородном поле на наш взгляд очень трудно осмыслить, т.к. одинаковые для любых частиц базиса физические условия привели к движению частиц друг относительно друга.
Для нахождения метрики Логунова или метрики Меллера, рассмотренных выше, исходят из псевдоевклидова интервала, заданного в переменных Эйлера в виде
\[dS^2 = (dx^0)^2 - (dx^1)^2 - (dx^2)^2 - (dx^3)^2 \](2.4)
где \(x^0=ct\) , \(x^1\) , \(x^2\) , \(x^3\) - декартовы координаты, а закон движения сплошной среды дается для метрик Логунова как:
\[x^1(y^1,t) = y^1 + (c^2/a_0)[\sqrt{1+ {a_0}^2t^2/c^2}-1]\],
\[x^2=y^2,\, x^3=y^3,\,d x^0=y^0 \],(2.5)
или
\[x^1(y^1,\tau)=y^1+c^2/a_0[\cosh(a_0\tau/c)-1]\],\,\,\,x^2=y^2,\,x^3=y^3,\]
\[ t = (c/a_0)\sinh(a_0\tau/c)\],(2.6)
где в (2.5) в качестве временного параметра используется время в ИСО , а в (2.6) \(\tau\) - собственное время.
Подстановка (2.5) и (2.6) в (2.4) дает соответственно метрику Логунова
\[dS^2=\frac{c^2dt^2}{1+{a_0}^2t^2/c^2}-2\frac{{a_0}tdtdy^1}{(1+{a_0}^2t^2/c^2)^{1/2}}
-(dy^1)^2-(dy^2)^2-(dy^3)^2\],(2.7 )
\[dS^2=c^2(d\tau)^2-2\sinh({a_0}\tau/c)cd\tau{dy^1}-(dy^1)^2-(dy^2)^2-(dy^3)^2\],(2.8 )
Если из метрик (2.7 ), (2.8 ) согласно работе ЛЛ2 построить трехмерный метрический тензор
\[\gamma_{kl}=-g_{kl}+g_{0k}g_{0l}/g_{00}\], (2.8a )
то для квадратов " физического расстояния " получим соответственно
\[dl^2=(1+{a_0}^2t^2/c^2)(dy^1)^2+(dy^2)^2+(dy^3)^2\], (2.9 )
\[dl^2=\cosh^2(a_0\tau/c)(dy^1)^2+(dy^2)^2+(dy^3)^2\] .(2.10)
Из последних формул следует, что метрика Логунова, как и отмечалось, не является жесткой.
Для преобразования Меллера закон движения имеет вид
\[x^1(y^1,T)=y^1\cosh({a_0}T/c)+c^2/a_0[\cosh(a_0T/c)-1]\],
\[x^2=y^2 ,\,\, x^3=y^3,\,\,\, t = c/a_0(1+{a_0}y^1/c^2)\sinh(a_0T/c),\,\, y^0=cT\],(2.11)
а метрика Меллера выражается элементом интервала
\[dS^2=(1+ a_0y^1/c^2)^2c^2(dT)^2-(dy^1)^2-(dy^2)^2-(dy^3)^2\].(2.12)
Выражая в законах движения (2.5), (2.6), (2.11) лагранжевы координаты через эйлеровы, приходим от метрик Логунова и Меллера к псевдоевклидову интервалу (2.4).

Наш подход при построении релятивистской жесткой равноускоренной НСО базируется на требовании отсутствия деформаций в твердом теле при его поступательном движении в однородном поле. Подход объединяет свойства системы Логунова ( равноускоренность ) и Меллера ( жесткость ), но при этом внутри мировой трубки пространство - время перестает быть плоским.
Математически задача сводится к решению системы (1.1) при условиях, что
\[\Sigma_{\mu\nu}=\Omega_{\mu\nu}=0,\,\,g_{\mu\nu}V^{\mu}V^{\nu}=1,\,\,
g_{\mu\nu}F^{\mu}F^{\nu}=-{a_0}^2/c^4\](2.13)
и системы (1.7) с учетом (1.3) и (1.4) при условии, что ускорение \(а_0\) и скорость света \(c\) постоянны. Cистема (1.1) в переменных Эйлера сводится к виду
\[\nabla_{\mu}V_{\nu}=V_{\mu}F_{\nu}\] (2.14)
Ee решение проще искать в лагранжевой сопутствующей системе отсчета, в которой
\[V_k=V^k=0,\quad V^0={g_{00}}^{-1/2},\quad V_0={g_{00}}^{1/2}. \](2.15)
Пусть для определенности среда движется вдоль эйлеровой координаты \(x^1\). Тогда метрику НСО в координатах Лагранжа будем искать в виде
\[dS^2 = D(X^1)(dX^0)^2 - A(X^1)(dX^1)^2 - (dX^2)^2 - (dX^3)^2. \](2.16)
Независимость коэффициента \(A(X^1)\) метрики от временной координаты эквивалентно равенству нулю тензора скоростей деформаций, а отсутствие в метрике компонент \(g_{0k}\) эквивалентно отсутствию вращений .
Решение системы (2.14) приводит к соотношению
\[A(X^1)=\frac{c^4}{4a_0^2D^2}\biggl(\frac{dD}{dX^1}\biggr)^2. \](2.17)
Подстановка (2.17) в уравнения структуры (1.7) обращает их в тождества. Если сделать преобразование лагранжевых координат \(X^i\) в другие лагранжевы
координаты \(y^i\) по формулам
\[dy^1=A^{1/2}dX^1, \quad X^0=y^0,\,\, X^2=y^2,\,\, X^3=y^3,\]
то находим для метрики равноускоренной НСО выражение
\[dS^2=\exp\biggl(\frac{2{a_0}y^1}{c^2}\biggr)(dy^0)^2-(dy^1)^2-(dy^2)^2-(dy^3)^2.\] (2.18)
где ускорение \(a_0\) направлено вдоль оси \(y^1\).
В равноускоренности НСО (2.18) можно убедиться непосредственно
\[F^1=\frac{DV^1}{dS}=\frac{dV^1}{dS}+\Gamma^1_{00}\biggl({V^0}\biggr)^2
=\frac{1}{g_{00}}\Gamma^1_{00}=-\frac{g^{11}}{2g_{00}}
\frac{\partial{g_{00}}}{\partial{y^1}}=\frac{a_0}{c^2}. \](2.19)
Остальные компоненты 4-ускорения равны нулю.

Найдем геометрию пространства-времени НСО, воспользуясь известной формулой
для тензора кривизны
\[R_{\alpha\beta,\gamma\delta}=\frac{1}{2}\Biggl(\frac{{\partial}^2g_{\alpha\delta}}{{\partial}y^{\beta}\partial{y^{\gamma}}}
+\frac{{\partial}^2g_{\beta\gamma}}{{\partial}y^{\alpha}\partial{y^{\delta}}}
-\frac{{\partial}^2g_{\alpha\gamma}}{{\partial}y^{\beta}\partial{y^{\delta}}}
-\frac{{\partial}^2g_{\beta\delta}}{{\partial}y^{\alpha}\partial{y^{\gamma}}}\Biggr)
+g_{\mu\nu}\Biggl(\Gamma^{\mu}_{\beta\gamma}\Gamma^{\nu}_{\alpha\delta}
-\Gamma^{\mu}_{\beta\delta}\Gamma^{\nu}_{\alpha\gamma}\Biggr)=g_{\alpha\sigma}
R^{\sigma}_{\beta{,}\gamma\delta}\], (2.20)
где символы Кристоффеля \(\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\) вычисляются по формулам
\[\Gamma_{\mu,\alpha\beta}=\frac{1}{2}\biggl(\frac{\partial{g_{\mu\alpha}}}{\partial{y^\beta}}
+\frac{\partial{g_{\mu\beta}}}{\partial{y^\alpha}}-\frac{\partial{g_{\alpha\beta}}}{\partial{y^\mu}}\biggr)\].\,\,(2.21)
\[\Gamma^{\mu}_{{.}\alpha\beta}=\frac{1}{2}g^{\mu\gamma}\biggl(\frac{\partial{g_{\gamma\alpha}}}{\partial{y^\beta}}
+\frac{\partial{g_{\gamma\beta}}}{\partial{y^\alpha}}-\frac{\partial{g_{\alpha\beta}}}{\partial{y^\gamma}}\biggr)\],(2.22)
Одна независимая компонента тензора кривизны, вычисленная
по метрике (2.18), имеет вид
\[R_{10,10}=-\frac{1}{2}\biggl[\frac{\partial^2g_{00}}{\partial{y^1}^2}
-\frac{1}{2g_{00}}\biggl(\frac{\partial{g_{00}}}{\partial{y^1}}\biggr)^2\biggr]
=-\frac{{a_0}^2}{c^4}\exp\biggl(\frac{2{a_0}{y^1}}{c^2}\biggr)\].(2.23)
Для компонент тензора Риччи \(R_{\beta\gamma}=g^{\alpha\gamma}R_{
\alpha\beta,\gamma\delta}\) имеем
\[R_{00}=-R_{10,10},\quad R_{11}=-\frac{{a_0}^2}{c^4},\quad R_{10}=0.\](2.24)
Для скалярной кривизны получаем
\[R=2\frac{{a_0}^2}{c^4}.\](2.25)
Таким образом, релятивистскую жесткую равноускоренную НСО можно
реализовать в пространстве c постоянной кривизной.
Eсли вместо метрики (2.18) в правую часть (2.23) подставить \(g_{00}= (1+a_0y^1/c^2)^2\), соответствующую метрике Меллера, то \(R_{10,10}=0\), что и следовало ожидать, так как метрика Меллера, выражаемая интервалом (2.12), получена из псевдоевклидова интервала (2.4) путем преобразования координат (закона движения в переменных Лагранжа) (2.11). В нашем случае совместное требование жесткости и равноускоренности не обратило в нуль правой части уравнений структуры (1.7), что и привело к возникновению отличного от нуля тензора Римана-Кристоффеля.
Приведенные здесь формулы (2.18), (2.23) получены автором в
работе [18] и повторены в [16, 17]. ( все ссылки на книгу ). Так как выведенные в этом параграфе соотношения (2.18 - 2.25) являются ключевыми для дальнейшего понимания, то обсудим их более подробно с позиций "здравого" смысла. Рассмотрим в качестве примера космический корабль, двигатели которого развивают постоянную тягу. Массу корабля в собственной системе для простоты считаем неизменной. Ясно, что при работающих двигателях корпус корабля деформируется, но эти деформации при постоянной реактивной силе не будут зависеть от времени, что математически эквивалентно равенству нулю тензора скоростей деформаций. Можно считать экспериментально доказанным фактом, что при постоянной тяге космический корабль не рассыпается ( т.е. движется как жесткое в смысле Борна тело). Пусть вдоль корабля от носа к корме закреплен набор одинаковых акселерометров. Зададимся вопросом о показаниях этих приборов. Ясно, что с позиций "здравого" смысла показания акселерометров при рассмотренных условиях должны совпадать! Таким образом, "здравый" смысл с необходимостью приводит к тому, что геометрия пространства-времени внутри корабля - риманова и имеет интервал (2.18)!

Релятивист, верящий в преобразования Меллера, должен увидеть, что показания акселерометров должны уменьшаться от кормы корабля к носу по закону
\[a(y)=\frac{a_0}{1+\frac{a_0y}{c^2}},\] (2.26)
где \(a_0\) ускорение кормы космического корабля, а \(y\) ? координата вдоль корабля с началом координат на корме. Кстати, формула (2.26) содержится в книге Меллера (8.167) и пособии Иванова, на которое часто ссылается господин Морозов. Поэтому высказывания Морозова, что система Меллера - равноускоренная основаны на недоразумении. Элемент интервала при этом должен выражаться соотношением (2.12). Ясно, что с позиций "здравого" смысла разность ускорений в разных точках твердого тела, движущегося поступательно, кажется странной, но только эксперимент должен решить какая же из точек зрения имеет право на существование.
Ссылки на "здравый" смысл в научных исследованиях не всегда оправданы, так как нет определения какой смысл считать "здравым".

Сформулируем теорему

ТЕОРЕМА

В ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО НЕ СУЩЕСТВУЕТ ЖЕСТКОГО ПО БОРНУ РЕЛЯТИВИСТСКИ РАВНОУСКОРЕННОГО ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
В согласии с формулой (1.7), названной нами уравнений структуры, для поступательного движения \(\Omega_{\mu\nu}=0\) для жесткого по Борну движения \(\Sigma_{\mu\nu}=0\), а для релятивистски равноускоренного имеет место равенство
\[g_{\mu\nu}F^\mu F^\nu=const\],(2.27)
Уравнение структуры при данных условиях сводится к виду
\[R^\mu_{\epsilon\sigma,\nu}V_\mu=\nabla_{\epsilon}(V_\sigma F_\nu)-\nabla_\sigma(V_\epsilon F_\nu).\](2.27 a )

Из уравнений (1.1-1.5) следует соотношение
\[\nabla_\epsilon V_\sigma=V_\epsilon F_\sigma.\](2.28)
Рассмотрим свертку
\[R_{\epsilon\sigma,\nu\mu}V^\mu V^\sigma=(\delta_{\epsilon}^{\sigma}-V_\epsilon V^\sigma)\nabla_\sigma F_\nu-F_\epsilon F_\nu.\](2.29)
Свертывая с 4-ускорениями, имеем
\[R_{\epsilon\sigma,\nu\mu}V^\mu V^\sigma F^\epsilon F^\nu=F^\sigma F^\nu\nabla_\sigma F_\nu-(F^\nu F_\nu)^2=F^\sigma\nabla_\sigma(F^\nu F_\nu)-F^\sigma F_\nu\nabla_\sigma F^\nu-(F^\epsilon F_\epsilon)^2.\](2.30)
Откуда имеем
\[R_{\epsilon\sigma,\nu\mu}V^\mu V^\sigma F^\epsilon F^\nu=-(F^\epsilon F_\epsilon)^2=const\ne 0.\] (2.31)
Итак, свертка тензора Римана-Кристоффеля оказалась отличной от нуля. Поэтому тензор Римана-Кристоффеля отличен от нуля, что и доказывает теорему.

Привожу доказательство глобальной равноускоренности частиц базиса Логунова.
Уравнение движения частиц в переменных Лагранжа определяется как
\[x^1(y^1,t) = y^1 + (c^2/a_0)[\sqrt{1+ {a_0}^2t^2/c^2}-1]\](1)
Здесь \(у^1\) начальные координаты точек континуума (лагранжевы координаты ), \(x^1\) ? эйлеровы текущие координаты , \(t\) ? время исходной ИСО. Найдем 3-скорость каждой частицы, где для одномерного движения отлична от нуля будет только \(v^1\).
\[\frac{v^1}{c}=\frac{\partial{x^1}}{\partial{ct}}=b=\frac{\beta}{\sqrt{1+\beta^2}},\,\beta=\frac{a_0t}{c}\](2)
Здесь видно, что скорости частиц не зависят от лагранжевых координат , т.е частицы базиса Логунова движутся как классически жесткое тело, что не соответствует жесткости по Борну. 4-скорость частиц определяется формулой
\[V^1=\frac{b}{\sqrt{1-b^2}}=\beta,\,\,V^0=\sqrt{1+(v^1)^2}=\sqrt{1+\beta^2}\] (3)
Найдем 4-ускорения
\[F^1=\frac{dV^1}{dt c\sqrt{1-b^2}},\,\,F^0=\frac{\beta}{\sqrt{1+\beta^2}}\frac{d\beta}{dtc\sqrt{1-b^2}}\] (4)
Воспользуемся легко проверяемой формулой
\[1-b^2=\frac{1}{1+\beta^2}.\](5)
В результате имеем
\[g_{\mu\nu}F^\mu F^\nu=(F^0)^2-(F^1)^2=-\frac{a_0^2}{c^4}\],(6)
что и требовалось доказать.

Валерий Борисович! Рассмотрим в ИСО вдали от гравитирующих тел две ракеты с выключенными двигателями. Ракеты расположены вдоль одной прямой на расстоянии \(L_0\). Обе ракеты абсолютно одинаковы. Одновременно в смысле СТО включаются двигатели ракет, которые развивают одинаковую тягу. До включения двигателей часы в ракетах синхронизированы с часами СТО. После включения ракеты будут двигаться в согласии с законом
\[x^1(y^1,\tau)=y^1+c^2/a_0[\cosh(a_0\tau/c)-1],\] (1)
\[x^2=y^2 ,\quad x^3=y^3,\quad t = (c/a_0)\sinh(a_0\tau/c),\] (2)
где задней ракете припишем \(y^1=0\), а передней \(y^1=L_0\).
С чем Вы не согласны?

Ответить

Вернуться в «Дискуссионный клуб / Debating-Society»