Страница 1 из 3

Задача двух тел. Релятивистская орбита.

Добавлено: Пт фев 19, 2016 13:35
Цапенко Николай
Пусть даны две изолированные гравитационно-связанные точечные массы m и M. Поместим начало полярной системы координат в точку с массой М, полярный радиус r этой системы направим в точку с массой m. Угловая координата φ отсчитывается, как обычно, против часовой стрелки от горизонтальной оси.
Предлагается написать уравнение траектории r=r(φ), которое лично Вы считаете правильным! Не нужно говорить откуда оно взято, или, как получено и, вообще, не требуется никаких пояснений и ссылок. Интересна только одна чисто формульная запись r=r(φ), которая, по Вашему мнению, является верным результатом данного гравитационного взаимодействия.

Цапенко Н.Е.

Re: Задача двух тел. Релятивистская орбита.

Добавлено: Пт фев 19, 2016 15:38
morozov
Тут без Вас случилась дискуссия
viewtopic.php?f=26&t=5624

Re: Задача двух тел. Релятивистская орбита.

Добавлено: Пт фев 19, 2016 16:26
sherst
Цапенко Николай писал(а):Пусть даны две изолированные гравитационно-связанные точечные массы m и M. Поместим начало полярной системы координат в точку с массой М, полярный радиус r этой системы направим в точку с массой m. Угловая координата φ отсчитывается, как обычно, против часовой стрелки от горизонтальной оси.
Предлагается написать уравнение траектории r=r(φ), которое лично Вы считаете правильным! Не нужно говорить откуда оно взято, или, как получено и, вообще, не требуется никаких пояснений и ссылок. Интересна только одна чисто формульная запись r=r(φ), которая, по Вашему мнению, является верным результатом данного гравитационного взаимодействия.
Цапенко Н.Е.
Я не видел в ОТО уравнения движения 2-х тел, которые сами создают гравитационное поле.
Есть Ньютоновское решение и пост-ньютон ( пост-Кеплер).
А также уравнение движение , если масса m много меньше M, то есть движение точечного тела происходит по геодезической.
Может правда теория ушла вперед?

Re: Задача двух тел. Релятивистская орбита.

Добавлено: Вс фев 21, 2016 19:29
morozov
Может правда теория ушла вперед?
Товарищ зовет назад:
Прецессия перигелия. Верна ли знаменитая формула ОТО?

Re: Задача двух тел. Релятивистская орбита.

Добавлено: Чт янв 17, 2019 13:28
Цапенко Николай
sherst писал(а):
Пт фев 19, 2016 16:26
Я не видел в ОТО уравнения движения 2-х тел, которые сами создают гравитационное поле.
Потому что его там нет!

Re: Задача двух тел. Релятивистская орбита.

Добавлено: Вс мар 24, 2019 21:25
Цапенко Николай
sherst писал(а):
Пт фев 19, 2016 16:26
Я не видел в ОТО уравнения движения 2-х тел, которые сами создают гравитационное поле.
Есть Ньютоновское решение и пост-ньютон ( пост-Кеплер).
А также уравнение движение , если масса m много меньше M, то есть движение точечного тела происходит по геодезической.
Может правда теория ушла вперед?
Все названные Вами теории гравитации (кроме классической теории Ньютона) исходят из полевых концепций, предполагающих наличие неких массивных тел, или распределённых масс материи, создающих в окружающем их пространстве силовое притягивающее поле. Величины, характеризующие поле - гравитационные потенциалы, или метрические коэффициенты - удовлетворяют определённой системе дифференциальных уравнений. Описание поля заключается в построении в нём семейства геодезических линий, вдоль которых обязаны перемещаться сторонние пробные тела, помещенные в данное поле. При этом полагается, что массы самих этих пробных тел настолько малы, что они не вносят никаких искажений в первоначальное поле, созданное другими массами. В частности, такой подход к задаче двух тел с точечными массами m и M, в которой масса m много меньше массы М, приводит к тому, что центр инерциальной системы отсчёта совмещается с точкой с массой М, а величина m никак не влияет на форму свой траектории движения. Другими словами, в саму изначальную постановку задачи уже заложено нарушение (или, можно сказать - пренебрежение) третьего закона Ньютона.
В обращении ближайшей к Солнцу планеты Меркурия в 1859 году наблюдательным путём (французский астроном Леверрье) было замечено аномальное смещение оси классической эллиптической орбиты в сторону движения Меркурия. Это смещение составляет, примерно, 0,103″=͂5*10-7рад за один оборот. При этом за 100 земных лет набегает угол величиной около 43″.
В конце 19-ого века немецкий исследователь Пауль Гербер, а потом Альберт Эйнштейн в статье 1915-ого года "Объяснение движения перигелия Меркурия в общей теории относительности", дали для системы двух точечных тел, из которых одно служит притягивающим инерциальным центром, следующую расчетную формулу упомянутого смещения
\delta\varphi=\frac{6\pi GM}{c^2(1-e^2)a}
В случае системы Солнце-Меркурий значение дополнительного угла, рассчитанное по этой формуле, почти в точности совпадает с наблюдаемым. Однако, допустимо ли в такой системе изначальное пренебрежение массой Меркурия по сравнению с массой Солнца? Ведь их отношение составляет Mмер./Мсол.=1,6*10-7, то есть величину того же порядка малости, что и искомое смещение! Всё-таки не логично, пытаться вычислить некую малую величину пренебрегая в условии задачи величиной того же порядка малости.
По всей видимости, преодолеть это явное логическое несоответствие можно только с помощью новой релятивистской теории задачи двух тел, не игнорирующей третий закон Ньютона, а с необходимостью на него опирающейся, точно так же, как на него опирается классическое решение этой задачи.

Re: Задача двух тел. Релятивистская орбита.

Добавлено: Вс мар 24, 2019 22:23
morozov
Однако, допустимо ли в такой системе изначальное пренебрежение массой Меркурия по сравнению с массой Солнца?
Поэтому, и не только поэтому, решение Эйнштейна называется приближенным. Общая теория относительности позволяет сделать это с должной степенью точности. Это не единственное ее предсказание. И пока поля небольшие эти предсказания оправдываются.

Остальное отбрасывается из-за того, что бессильно перед теми задачами, которые уже разрешила общая теория относительности.
По всей видимости, преодолеть это явное логическое несоответствие можно только с помощью новой релятивистской теории задачи двух тел, не игнорирующей третий закон Ньютона, а с необходимостью на него опирающейся, точно так же, как на него опирается классическое решение этой задачи.
Посмотрите задачник Лайтман А., Пресс В., Прайс Р., Тюкольски С. Сборник задач по теории относительности и гравитации. М.: Мир 1979
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 979ru.djvu
Вы таки какой-никакой математик, изучите теорию, порешайте задачки...

Re: Задача двух тел. Релятивистская орбита.

Добавлено: Вт апр 09, 2019 16:32
Цапенко Николай
sherst писал(а):
Пт фев 19, 2016 16:26

Может правда теория ушла вперед?
Да, правда! Есть такая теория!

Re: Задача двух тел. Релятивистская орбита.

Добавлено: Вт апр 09, 2019 20:43
morozov
Цапенко Николай писал(а):
Вт апр 09, 2019 16:32
sherst писал(а):
Пт фев 19, 2016 16:26

Может правда теория ушла вперед?
Да, правда! Есть такая теория!
В 1915 году Эйнштейн получив эту формулу поверил в свою теорию. Вернее в уравнение гравитационного поля. С тех пор ничего не изменилось.

Re: Задача двух тел. Релятивистская орбита.

Добавлено: Ср май 01, 2019 12:23
Цапенко Николай
Цапенко Николай писал(а):
Вт апр 09, 2019 16:32
sherst писал(а):
Пт фев 19, 2016 16:26

Может правда теория ушла вперед?
Да, правда! Есть такая теория!
Важным практическим следствием этой новой теории явилась новая формула смещения перигелия орбиты в задаче двух тел. Вот эта формула
Δφ=\frac{2πG(M+m)}{(1-e^2)ac^2}[1+\frac{1+4,5e^2+1,5e^4}{(1-e)^2\sqrt{(1-e^2)}}]

Как видим, определяемый ею угол поворота зависит от двух геометрических параметров: эксцентриситета классической эллиптической орбиты e и её фокального параметра h=(1-e^2)a (a – большая полуось эллипса), что вполне естественно для любой характеристики плоского движения.

Орбита планеты Меркурий имеет параметры
e=0,2056; h=55,47*10^9.

Подставляя эти значения в приведённую формулу, получим угловое смещение перигелия Меркурия за один его оборот вокруг Солнца, равное 0,102". За сто земных лет Меркурий совершает 415 оборотов, и, следовательно, его смещение за это время составляет примерно Δφ=42,3", что практически совпадает с действительно наблюдаемым смещением большой полуоси Меркурия!

Re: Задача двух тел. Релятивистская орбита.

Добавлено: Чт май 02, 2019 1:24
morozov
Вообще-то все это уже считалось многократно в XIX веке.

Тщательнее надо литературу читать... В учебниках по физике довольствуются приближенным решением.

Цапенко Николай писал(а):
Ср май 01, 2019 12:23
его смещение за это время составляет примерно Δφ=42,3", что практически совпадает с действительно наблюдаемым смещением большой полуоси Меркурия!
Маловато будет...
Вики поглядели бы на худой конец.

Re: Задача двух тел. Релятивистская орбита.

Добавлено: Сб июл 13, 2019 21:15
Цапенко Николай
Итак, в задаче двух тел имеем две альтернативные формулы для вычисления углового смещения перигелия классической эллиптической орбиты:
\begin{gather}
\delta\varphi =\frac{6\pi GM}{hc^2}, \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\qquad (1)\\
\Delta\varphi=\frac{2\pi G(M+m)}{hc^2}\left[1+\frac{1+4,5e^2+1,5e^4}{(1-e)^2\sqrt{1-e^2}}\right].\qquad\qquad (2)
\end{gather}
Сравним эти формулы только по внешнему виду, безотносительно к способу их получения.

1. Для параметров системы Солнце-Меркурий формулы (1), (2) дают практически одинаковые значения.

2. Формула (1) содержит величину массы только одного тяжёлого тела М. И это принципиальный момент, потому что формула (1) по существу есть результат решения задачи одного притягивающего центра, а не решения задачи двух тел, равно действующих друг на друга. То есть, в ней неявно предполагается условие М››m, от которого она не может быть освобождена. В формулу (2) входит сумма масс двух взаимодействующих тел. Причем эти массы равноправны и нет никакого ограничения на их соотношение.

3. Формула (1) определяет смещение как функцию одного геометрического размера, а именно, фокального параметра h. Только одного! В то время как длина и площадь эллипса определяются двумя величинами, например, фокальным параметром и эксцентриситетом. A это означает, что перигелии орбит различной длины (вообще говоря, даже и сколь угодно большой), но c равными фокальными параметрами, смещаются на один и тот, же угол. Разве это может быть правильным?

Re: Задача двух тел. Релятивистская орбита.

Добавлено: Сб июл 13, 2019 21:31
morozov
Разве это может быть правильным?
Почему нет?
Формула (1) известная приближенная формула.

Сравните свою формулу с результатом ОТО для тесных звездных систем.

Re: Задача двух тел. Релятивистская орбита.

Добавлено: Пн июл 15, 2019 3:47
morozov
Вообще-то за три с половиной года можно выучит ОТО, или хотя бы научиться выражать свои мысли более связано.

Re: Задача двух тел. Релятивистская орбита.

Добавлено: Чт июл 25, 2019 14:08
Цапенко Николай
Вот путь, приведший в 1898г. немецкого исследователя Пауля Гербера к формуле углового смещения перигелия (1).
Его идея заключалась в обобщении классического гравитационного потенциала посредством введения множителя, учитывающего скорость движения легкой материальной точки в поле одиночного притягивающего тела. А, именно, П.Гербер рассмотрел потенциальную функцию вида
Φ(r,\dot{r})=-\frac{GM}{r(1-\frac{\dot{r}}{c})^2},\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(3)
по которой силовое поле, ею порождаемое, вычислял согласно правилу динамики неконсервативной системы, то есть
\mathbf{F}=m\left[-\frac{\partial{ Φ }}{\partial{r}}+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial{ Φ }}{\partial{\dot{r}}}\right)\right]\frac{\mathbf{r}}{r}.\qquad\qquad\qquad\qquad(4)
Приравнивая эту силу к силе, даваемой 2-ым законом Ньютона
\mathbf{F}=m\mathbf{a},\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad(5)
и сокращая на величину массы m пробной частицы, получаем такое уравнение движения
\mathbf{a}=\left[-\frac{\partial{ Φ }}{\partial{r}}+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial{ Φ }}{\partial{\dot{r}}}\right)\right]\frac{\mathbf{r}}{r}.\qquad\qquad\qquad\qquad\quad(6)

Вносим в это уравнение потенциал (3) и, удерживая в нём лишь члены не выше второго порядка по 1/с, записываем его в виде
\mathbf{a}=-\frac{GM}{r^2}\left(1-3\frac{\dot{r}^2}{c^2}+6\frac{r\ddot{r}}{c^2}+O(\frac{1}{c^3})\right)\frac{\mathbf{r}}{r}.\qquad\qquad\quad(7)
Отметим, что вектор ускорения в данном случае – центральный и поэтому движение по орбите П.Гербера происходит с постоянной секторной скоростью.
Производя надлежащие замены и подстановки, от векторного уравнения движения (7) переходим к двум скалярным уравнения, одно из которых определяет орбитальную функцию λ(φ)=1/r(φ), а другое – зависимость угловой координаты от времени. Эти уравнения записываются так
\frac{d^2λ}{dφ^2}+λ=\frac{1}{h}-\frac{3GM}{c^2}\left((\frac{dλ}{dφ})^2+2λ\frac{d^2λ}{dφ^2}\right),\qquad\qquad(8)
\frac{dφ}{dt}=\sqrt{GMh}λ^2.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad(9)
Интегрируя уравнение (8) с точностью до 1/c^2, находим
hλ=\frac{h}{r}=1+ecosφ+\frac{3GMe}{2hc^2}(e+2φsinφ-ecos2φ).(10)
Здесь e – постоянная интегрирования, выполняющая роль эксцентриситета классической эллиптической орбиты.
Точки точных перигелиев и афелиев определяются из условия
\frac{dλ}{dφ}=0,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad(11)
из которого и следует знаменитая формула смещения перигелия.

Здесь уместно ещё сказать, что для описанной процедуры вывода этой формулы потенциал Пауля Гербера (3) не единственно возможный. Например, потенциальная функция
Φ(r,\dot{r})=-\frac{GM}{r(1-\frac{\dot{r}^2}{c^2})^3},\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(12)
приводит к тому же уравнению движения (7).