Кватеры — новые математические объекты в физике

Модераторы: morozov, mike@in-russia, Editor

Ответить
Владимир
Сообщения: 33
Зарегистрирован: Чт июн 01, 2006 2:32

Кватеры — новые математические объекты в физике

Номер сообщения:#1   Владимир » Чт янв 12, 2017 17:05

Кватеры — новые математические объекты в физике.
Как один из общих принципов философии физики я исповедую принцип адекватности математики и физики. Суть его в том, что математические объекты, используемые в некой физической теории, должны иметь физические аналоги в этой теории. Если математический аппарат выбран удачно (адекватно), то формально математическая теория может рассматриваться как физическая, и иногда даже "указывать Природе", как ей "вести себя" в той или иной физической ситуации. Я предлагаю определить (построить) некий "первичный" физический объект, который одновременно являлся бы неким "простейшим" математическим объектом, включал в себя основные типы физических величин и был бы достаточно универсальным, чтобы использоваться в возможно большем числе разделов физики.

Начнем с математики. Объект "со стороны математики" должен быть "простейшим". В математике простейшим объектом является число. Наш объект, конечно, не может быть числом, но может быть, в некотором смысле, "близким" к понятию числа.

Числами в математике называют объекты (т.н. линейные алгебры), для которых определены операции сложения и умножения, удовлетворяющие трем законам арифметики:
  • I-a — коммутативность сложения,
    I-b — коммутативность умножения,
    II — ассоциативность сложения и умножения,
    III — дистрибутивность сложения/умножения.
Наиболее известными являются т.н. вещественные и комплексные числа. Доказано, математически строго (Г.Фробениус), что никаких других математических объектов, которые можно было бы назвать числами, не существует. Кватернионы являются математическими объектами "наиболее близкими" к числам, для них выполняются все законы арифметики, кроме одного — коммутативности умножения. При этом, существуют такие подмножества кватернионов (векторные части которых принадлежат одному и тому же одномерному векторному подпространству), для которых имеет место также и коммутативность умножения. Все прочие объекты (линейные алгебры) находятся "дальше" от понятия числа.

Кватернионами над полем вещественных чисел называют линейные алгебры вида
Q=q_0+q_1{\bf i} +q_2{\bf j}+q_3{\bf k} , где q_μ(μ=0,1,2,3) — вещественные числа, а \bf i,\,\bf j,\,\bf k — некоторые символы, для которых определена таблица умножения: \bf i\cdot\bf i=\bf j\cdot\bf j=\bf k\cdot\bf k={-\rm 1} ,\,\,\,\bf i\cdot\bf j=-\bf j\cdot\bf i=\bf k,\,\,\,\bf i\cdot\bf k=-\bf k\cdot\bf i=-\bf j ,\,\,\,\bf j\cdot\bf k=-\bf k\cdot\bf j=\bf i . Если \bf i,\,\bf j,\,\bf k — орты координатных осей декартовой прямоугольной системы координат (или ортонормированный базис в R3), то q_1{\bf i} +q_2{\bf j}+q_3{\bf k}= \bf q — вектор и тогда Q=q_0+\bf q — кватернион как сумма скаляра и вектора. Например, в физическом пространстве R3, в котором выбрана точка отсчета, кватернион Q=a+\bf r можно интерпретировать, как радиус-вектор точки, в которой задана некая скалярная величина a ( время, масса, потенциал и др.). Если a=t — время, то различаются физические размерности слагаемых (физическая размерность радиус-вектора — длина), что недопустимо, поэтому скаляр, характеризующий время следует брать в виде сt, где с — фундаментальная физическая константа (скаляр), называемая "скорость света в вакууме". Таким образом, кватернионы вида Q=ct+\bf r можно рассматривать как элементы пространства-время в трехмерном пространстве (!) ..., но есть еще один нюанс.

Все физические объекты (речь не об объектах Природы, но об объектах науки физики, "существующих" только в виде информации в нашем сознании) в "первом приближении" естественно разбиваются на две непересекающиеся группы: (условно) геометризуемые и негеометризуемые. Геометризуемые объекты (величины) или пространственные объекты — это объекты допускающие пространственную (геометрическую) интерпретацию (например, вектор как направленный отрезок), можно представить их положение (локализацию) в пространстве, нарисовать, сделать модель и т.д. и т.п. Негеометризуемая величина — это величина принципиально не допускающая пространственную (геометрическую) интерпретацию, это скаляр. Именно так я определяю физический скаляр как величину, не геометризуемую ни в каком смысле. (Дело в том, что не только в физике, но и в математике нет строгого определения скаляра). Одно из возможных определений (разумеется, не строгих) «скаляр — это не вектор». Под «не вектор» здесь имеется в виду не какой-то другой объект, но определение вектора, из которого выкинута важнейшая составляющая, делающая его собственно вектором. Вектор можно определить как направленный отрезок, т.е. отрезок имеющий определенное (фиксированное) направление или отрезок, у которого заданы (фиксированы) начальная точка (начало) и конечная точка (конец). И тогда «не вектор» — это: 1) "отрезок" не имеющий никакого (определенного) направления, но также 2) "отрезок" имеющий любое направление (в смысле все возможные направления одновременно, среди которых нет фиксированного) или, что то же самое, "направленный отрезок" имеющий фиксированным только начало, тогда как конец не фиксирован — это любая точка, отстоящая от начальной точки на расстоянии, равном длине отрезка. Может быть, имеет смысл назвать такой объект «поли-вектором» (poly-vector) или направленным «поли-отрезком» (поли-направленным отрезком и т.п.). Я буду называть такие объекты «ёжик».

Ёжик — это множество всех направленных отрезков (векторов) одной длины, имеющих общее начало, и рассматриваемых как единое целое. Длину направленных отрезков можно считать также длиной (размером) ёжика. Умножение ёжика на число означает умножение всех направленных отрезков на это число. Умножение на отрицательное число меняет направление, т.е. меняет местами начало и конец направленных отрезков, т.е. общим становится конец, имеет смысл назвать такой объект "антиёжиком". Вводятся также понятия "единичный ёжик" и "единичный антиёжик". Учитывая, что концы отрезков образуют сферу с центром в начале и радиуса, равного длине отрезков, ёжик можно интерпретировать также как "радиус-вектор сферы относительно центра", а антиёжик — как "радиус-вектор центра относительно сферы".

Итак, имеем абсолютное противоречие: 1) скаляр принципиально не интепретируется в пространстве; 2) скаляр интерпретируется в пространстве как ёжик (?!). Есть единственная возможность разрешения этого противоречия: если в первом случае речь о вещественном скаляре, то во втором — о не-вещественном, т.е. чисто мнимом.

Отсюда моя самая главная гипотеза:
  • Вещественный скаляр никак не интерпретируется в пространстве;
    Чисто мнимый скаляр интерпретируется в пространстве как ёжик,
    В частности, мнимая единица интепретируется как единичный ёжик
Я действительно считаю идею о геометризации мнимой единицы (в вещественном пространстве ! ) моей самой главной и счастливой находкой, возможно, — самой главной во всей моей работе (полагая, что получение всех остальных результатов — "дело техники"), и надеюсь, что именно так её оценят и физики, и математики.

Приведенные выше рассуждения я придумал специально для Вас, читатель, и насколько они убедительны, судить Вам. Я же пришел к этой идее совсем другим путем. Я предложил новый (постньютоновский) закон тяготения, на основании которого построил модель материальной точки, в которой идея геометризации мнимой единицы сама "пришла мне в руки", причем одновременно и "со стороны" мнимого скаляра, и "со стороны" пространства.

Однако, вернемся к кватернионам. Напомню, что кватернионы как математические объекты появились в середине 19 века (Гамильтон, 1853 г., W.R.Hamilton, Lectures on quaternions, Dublin, 1853) и Д.К.Максвелл вывел свои знаменитые уравнения в кватернионном исчислении. Итак, кватернион можно представить как сумму скаляра и вектора Q=a+\bf r. Нюанс, о котором я говорил, состоит в том, что одно слагаемое, (вещественный скаляр a) — негеометризуемый объект, что делает невозможной пространственное представление кватерниона. Я думаю, что именно эта особенность кватернионов заставила физиков (О.Хевисайд, Г.Герц, Д.У.Гиббс и др.) отказаться от кватернионного исчисления в пользу векторного (почти идеально интерпретируемого в пространстве), которое отпочковалось от кватернионного с отбрасыванием скалярной части (с потерей, при этом, операции "деления на вектор", что многими рассматривается как существенный недостаток векторного исчисления).

Я предлагаю вернуть физику в лоно кватернионного исчисления, освободив его от всех отмеченных недостатков, заменив в кватернионе вещественный скаляр мнимым. Я назвал такие объекты «кватер» (от лат. quater, четырежды, четыре раза или, если угодно, сокращение от кватер-нион), а исчисление с использованием кватеров — кватерным.

Я обозначаю мнимую единицу (единичный ёжик) символом 1* (единица со звездочкой), и вообще звездочкой обозначаю мнимое число как результат умножения вещественного числа на мнимую единицу, например, a*=a.1*, (1*)2=1*.1*=(1*)*=-1, (a+b*)*=a*_b и т.д.

Итак, Q=a^*+\bf r — кватер. Здесь a^*=\alpha^*\cdot\beta — чисто мнимый скаляр, описывающий вполне вещественное свойство \beta в точке, задаваемой радиусом-вектором \bf r , а \alpha^*=\alpha.1*— размерный множитель (вещественный, умноженный на мнимую единицу). Например, вещественное (!) пространство-время в ИСО описывается кватерным пространством {c^*t+\bf r} , пространство-масса — {\it r^*_g+\bf r} (где \it r_g=Gm/c^2 — т.н. гравитационный радиус массы m , G — гравитационная постоянная), а также кватерный импульс — {c^*m+\bf p} , кватерный потенциал — {φ*+Α} , кватерный дифференциальный оператор \frac{1^*}{c}\frac{\partial}{\partial t}+\nabla , и т.д. и т.п. При этом, существенно упрощаются многие вычисления, т.к. с кватерами можно обращаться как с числами, помня лишь про некоммутативность умножения.

Я полагаю, что кватерное исчисление в физике, по своим возможностям, существенно превосходит векторное исчисление, позволяет не только с замечательным изяществом и наглядностью описывать уже известные физические явления (не выходя из "нашего" трехмерного вещественного пространства !!!), но и предсказывать совершенно новые, неизвестные явления (думаю, что "эвристический потенциал" кватеров очень большой. Моя работа — это лишь начало использования возможностей кватерного исчисления, "лежащих на виду"). Например, в кватерном пространстве-времени преобразования Лоренца определяются как два гиперболических (спинорных) полувращения, уравнения Максвелла — как "реакция" на введение в кватерное пространство-время кватерной плотности электрического заряда или кватерной плотности массы. В первом случае получаются электромагнитные уравнения Максвелла, во втором — гравитационные. Собственно вывод занимает несколько строк текста (и несколько страниц комментария), причем лоренц-ковариантность уравнений очевидна сразу. Далее, абсолютно новое в физике, но совершенно естественное в кватерном исчислении, понятие пространства-массы естественно приводит к понятию гравитационного поля, новому закону тяготения, одинаково хорошо описывающему и ньютоновскую гравитацию (включая решение проблемы т.н. темной материи) и гравитацию Вселенной в целом (включая решение проблемы темной энергии), и т.д. и т.п..

С уважением, Владимир

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32831
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Кватеры — новые математические объекты в физике

Номер сообщения:#2   morozov » Сб янв 14, 2017 5:50

Не впечатлило.

В восьмом классе я тоже думал, что стоит вести гиперкомплексные и все проблемы физики решатся сами собой как в ТФКП... позже я понял, что способ решения задачи не влияет на результат. В тридцать лет написал статью, где обошелся без традиционных вычетов, при этом решения оказалось даже проще...
С уважением, Морозов Валерий Борисович

jurij
Сообщения: 460
Зарегистрирован: Сб июл 02, 2011 10:58

Re: Кватеры — новые математические объекты в физике

Номер сообщения:#3   jurij » Сб янв 14, 2017 18:34

Владимир писал(а): Как один из общих принципов философии физики я исповедую принцип адекватности математики и физики. Суть его в том, что математические объекты, используемые в некой физической теории, должны иметь физические аналоги в этой теории.
Не совсем понятно в чем суть этого принципа. Хорошо бы пример математического объекта и его физического аналога. Ну и совсем неплохо указать определенную (не интуитивную) процедуру, которая позволяет ставить в соответствие математическому объекту его физический аналог (или наоборот).
morozov писал(а): позже я понял, что способ решения задачи не влияет на результат.
От себя позволю (Морозов здесь начальник) добавить:форма (математическая) представления задачи, ее физической сути не меняет. Удачная (математическая) форма представления задачи безусловно облегчает жизнь ее решающему. Но каких-то новых физических результатов получить таким способом не удастся. Почему, читай приведенную выше цитату (принцип?) Морозова.

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32831
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Кватеры — новые математические объекты в физике

Номер сообщения:#4   morozov » Сб янв 14, 2017 22:44

Но каких-то новых физических результатов получить таким способом не удастся.
Ну а я про что?...
jurij писал(а):
Сб янв 14, 2017 18:34
(Морозов здесь начальник)
Скорее дворник...
С уважением, Морозов Валерий Борисович

эдя псковский
Сообщения: 1476
Зарегистрирован: Ср фев 04, 2009 13:09
Откуда: Пскопские мы

Re: Кватеры — новые математические объекты в физике

Номер сообщения:#5   эдя псковский » Пн янв 16, 2017 15:35

Владимир писал(а):
Чт янв 12, 2017 17:05
Начнем с математики. Объект "со стороны математики" должен быть "простейшим". В математике простейшим объектом является число.
"Элементарный" не значит "простейший". Вот из точек прямую строго не построишь (но, можно и должно постулировать). Ибо, к каждой точке всегда будет прилегать интервал. Но, пересечение трех плоскостей (если считать заданными понятиями "плоскость" и "пересечение") непротиворечиво задает понятие точки. Т.е. при таком подходе точка не есть элементарный объект. Т.о. свойство относительности ГЛОБАЛЬНО. Например, в логике. В окружающем мире точек нет. Но, поверхности (границы) есть. Т.е. плоскость (вернее , особая трехмерная граница) в нашем восприятии мира первична. Граница же более фундаментальное понятие чем плоскость - мир начинается с понятия "больше-меньше".
А заявленный подход можно сформулировать проще. Заменять любую динамику дополнительной координатой, что позволяет рассматривать пусть многомерный, но неподвижный объем-явление или его маломерные сечения. Точки такого объема могут быть неподвижными и иметь вещественные координаты. Зенон не придерется. Все интуитивным образом по потребности так и поступают. Та же "мировая линия" - есть переход от движущейся точки к неподвижной кривой (кстати, не знаю, что там с ПЭ, но точка вполне может быть объемом произвольной формы в зависимости от выбора СО). Ну... не простейший объект точка, если она может быть КАКИМ ТО ОБРАЗОМ отображена на объем.
Хотя, формулы в лоб геометрические образы не подразумевают. Не случится ничего из того, что геометрия не совпадет с алгеброй. Все устроились самодостаточно. Неактуальны эти противоречия, будет день будет пища. Парадокс лжеца сотни лет считался шуткой.
Я не знаю, что есть вращение.

эдя псковский
Сообщения: 1476
Зарегистрирован: Ср фев 04, 2009 13:09
Откуда: Пскопские мы

Неявный постулат Эвклида.

Номер сообщения:#6   эдя псковский » Ср янв 18, 2017 9:53

Неявный постулат Эвклида: Все точки листа и фигур неподвижны.
Это подразумевается, но не оговаривается. Но, например, точки поверхности листа могут двигаться как поверхность кубика Рубика. Если они пластичные, то вообще могут проскальзывать на новые места, не образуя дырок и не сдвигая ряд «точек». Круг могут образовать бегающие тараканы. Т.е. это надо оговаривать.
Т.о. для преодоления парадоксов Зенона не обязательно использовать теорию пределов. Достаточно согласиться с Зеноном, и любую геометрию привести к неподвижной. Например, континуумы ИСО образующие прямую, и скользящие друг относительно друга, можно развернуть в плоскость, точки которой будут неподвижны. График движения (время-координата) отчасти преодолевает парадокс Зенона тем, что подвижная точка превращается в неподвижную прямую. Подвижная точка при определенных условиях вообще может В МАТЕМАТИКЕ образовать любую неподвижную фигуру, объем и даже пространство. Знай себе выбирай СО и наращивай количество координат – по скорости, ускорению, ускорению ускорения, времени… В конце концов, споря о дискретности бытия, никто не запрещает выводить точку как пересечение прямых, а прямую как пересечение плоскостей. Необязательно идти от «элементарного» к «множеству всех множеств». Можно идти от «множества всех множеств» к «элементарному».
Все, что количественно описывает человек, сводится к неподвижному многомерному вектору в тех или иных смысловых осях, смыслы которых описаны количественно. В том числе ось времени. В последнем случае время человека анализирующего модель перпендикулярно времени модели. Реальное время всегда перпендикулярно вероятному (реальная ветка событий перпендикулярна вероятной).
Я не знаю, что есть вращение.

Аватара пользователя
Кисантий
Сообщения: 6575
Зарегистрирован: Ср ноя 04, 2009 18:57

Re: Кватеры — новые математические объекты в физике

Номер сообщения:#7   Кисантий » Чт янв 19, 2017 0:03

morozov писал(а):
Сб янв 14, 2017 5:50
Не впечатлило.

В восьмом классе я тоже думал, что стоит вести гиперкомплексные и все проблемы физики решатся сами собой как в ТФКП... позже я понял, что способ решения задачи не влияет на результат. В тридцать лет написал статью, где обошелся без традиционных вычетов, при этом решения оказалось даже проще...
>позже я понял, что способ решения задачи не влияет на результат.
нет влияет. Ежели решение за пределми программы детского садика то это не решение а ерунда, потому что ученый народ ужасно глуп до смешного и все равно ничего не поймет :mrgreen:
Кот это очень древнее и неприкосновенное животное. Кот спас жизнь хозяину, позвонив в 911

Ответить

Вернуться в «Дискуссионный клуб / Debating-Society»