Задачка из задачника. Парадокс однако

Модераторы: morozov, mike@in-russia, Editor

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32981
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Задачка из задачника. Парадокс однако

Номер сообщения:#1   morozov » Чт фев 25, 2010 1:18

Г. Богомолов обратил мое внимание на задачку из задачника
Там конечно есть решение, но не в этом дело...

Задача. Плоский конденсатор состоит из двух больших пластин площадью А, перпендикулярных оси х и разделенных небольшим промежутком d. Конденсатор заряжен так, что между его обкладками возникло однородное электрическое поле Е (неоднородностью поля на краях обкладок можно пренебречь). ?Электростатическая масса? конденсатора в его системе покоя составляет E^2Ad/8\pi . Доказать, что электростатическая энергия уменьшается, если конденсатор движется в направлении оси х! Учтем теперь, что обкладки конденсатора необходимо удерживать на расстоянии d друг от друга. Предположим, что им не дает сблизиться идеальный газ с собственной плотностью \rho_0. Доказать, что полная энергия конденсатора (электростатическая энергия-(-энергия газа) возрастает с увеличением скорости движения вдоль оси х точно так же, как энергия материальной точки.
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32981
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Где тут парадокс.

Номер сообщения:#2   morozov » Вт мар 02, 2010 12:02

Для жесткого конденсатора. Вследствие Лоренцева сокращения энергия поля уменьшается!
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32981
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Решение

Номер сообщения:#3   morozov » Ср мар 03, 2010 11:44

Изображение

однако остался "парадокс" для жесткого конденсатора. ЭМ энергия уменьшается при увеличении скорости
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Z
Сообщения: 465
Зарегистрирован: Пт дек 04, 2009 13:07

Re: Задачка из задачника. Парадокс однако

Номер сообщения:#4   Z » Вс мар 07, 2010 16:07

Плотность энергии ЭМ поля между обкладками при заданном движении не меняется.
Объём, занимаемый полем, уменьшается - энергия поля соответственно уменьшается.
Где тут парадокс?

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32981
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Задачка из задачника. Парадокс однако

Номер сообщения:#5   morozov » Вс мар 07, 2010 18:10

Z писал(а):Плотность энергии ЭМ поля между обкладками при заданном движении не меняется.
Объём, занимаемый полем, уменьшается - энергия поля соответственно уменьшается.
Где тут парадокс?
Верно, но куда ушла энергия? И где добавочная (кинетическая) энергия?
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Z
Сообщения: 465
Зарегистрирован: Пт дек 04, 2009 13:07

Re: Задачка из задачника. Парадокс однако

Номер сообщения:#6   Z » Вс мар 07, 2010 21:15

Вы сами, приведя решение, уже ответили на свой вопрос.

Заряженный конденсатор, как материальный объект, можно
разделить на две части:

1.ЭМ поле
2.Каркас(включая обкладки)

Пусть скорость движения не слишком большая.
В таком случае:

Плотность потока энергии ЭМ поля зависит от плотности
энергии покоя и тензора натяжений.

Плотность потока энергии для вещества каркаса зависит от
плотности энергии покоя вещества каркаса и тензора напряжений.

Т.о.
Инертные свойства электрического поля конденсатора будут опряделяться
физической величиной М1 - симметричным тензором второго ранга.

Инертные свойства каркаса конденсатора будут определяться
физической величиной М2 - симметричным тензором второго ранга.

Назовём тензо-массой количественную меру инертных свойств
зависящих от тензора напряжений(натяжений).

Сжимающие напряжения считаем положительными, растягивающие - отрицательными.

Сложив М1 и М2 получим инвариант СТО - скалярную массу заряженного конденсатора.

Выводы:

В зависимости от направления движения конденсатора.

Недостающая инертность электрического поля скомпенсируется соответствующей
положительной инертностью каркаса конденсатора.

Избыточная инертность электрического поля скомпенсируется соответствующей
отрицательной инертностью каркаса конденсатора.

Недостающая кинетическая энергия электрического поля скомпенсируется соответствующей
положительной кинетической энергией каркаса конденсатора.

Избыточная кинетическая энергия электрического поля скомпенсируется соответствующей
отрицательной кинетической энергией каркаса конденсатора.


Вот вам пример:

Абсолютно жесткий, тонкостенный сферический сосуд, наполненный
несжимаемой идеальной жидкостью, находящейся под давлением.

Масса жидкости зависит от энергии покоя и давления.
Т.о. масса жидкости при наличии давления будет больше, чем в его отсутствие.

Сосуд будет нагружен растягивающими напряжениями.

Из соображений симметрии следует, что масса сосуда,
нагруженного растягивающими напряжениями,
должна быть меньше, чем масса ненагруженного сосуда.


Поэтому, если взять электрически заряженную сферическую оболочку и
вычислить импульс ЭМ поля, мы получим известный коэффициент 4/3.

Оболочка будет нагружена растягивающими напряжениями.

Если вычислить импульс для массы, зависящей от растягивающих напряжений,
(она будет отрицательной) мы получим коэффициент -1/3.

Сложив импульс от ЭМ поля и импульс от тензо-массы получим ровно 1.

Т.о. избыточная положительная инертность ЭМ поля скомпенсируется
соответствующей отрицательной инертностью (зависящей от напряжений
в материале оболочки) так, чтобы выполнялось соотношение СТО между
энергией покоя и массой.

Т.е. энергия электрического поля оболочки соответствовует массе,
включающей в себя массу электрического поля оболочки и тензо-массу,
так что известное соотношение СТО в точности соблюдается.

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32981
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Задачка из задачника. Парадокс однако

Номер сообщения:#7   morozov » Вс мар 07, 2010 21:51

Недостающая инертность электрического поля скомпенсируется соответствующей
положительной инертностью каркаса конденсатора.
Верно, но это скорее ответ, чем решение.... иногда парадоксы (не этот) как частная задача бывают очень даже не тривиальны. Ну, по крайне чере сходу не решать...
Например парадокс Г.Иванова
http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/e ... Ivanov.pdf
Если вычислить импульс для массы, зависящей от растягивающих напряжений,
(она будет отрицательной) мы получим коэффициент -1/3.
И как это связано с зарядом? Впрочем попробуйте вычислить...
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Z
Сообщения: 465
Зарегистрирован: Пт дек 04, 2009 13:07

Re: Задачка из задачника. Парадокс однако

Номер сообщения:#8   Z » Пн мар 08, 2010 22:18

И как это связано с зарядом? Впрочем попробуйте вычислить...
Вычисляем...

Энергия электрического поля сферы
W_{E}=\frac{1}{8\pi \varepsilon _{0}}\cdot \frac{q^{2}}{R_{0}}
R_{0} - радиус сферы
q - заряд сферы

Импульс ЭМ поля сферы(подробности опустим)
\vec{p}_{EM}=\frac{1}{c^{2}}\cdot \frac{1}{8\pi \varepsilon _{0}}\cdot \frac{q^{2}}{R_{0}}\cdot \frac{4}{3}\cdot\vec{u}
\vec{u} - вектор скорости сферы, u<<с

Масса электрического поля сферы
m_{E}=\frac{4}{3}\cdot \frac{W_{E}}{c^{2}}
Плотность энергии электрического поля у поверхности сферы
w_{E}=\frac{\varepsilon _{0}}{2}\cdot E^{2}=\frac{1}{32\pi ^{2}\varepsilon _{0}}\cdot \frac{q^{2}}{R_{0}^{4}}
Масса, зависящая от растягивающих напряжений в материале сферы
m_{\sigma}=-\frac{1}{c^{2}}\cdot \ w_{E}\cdot V=-\frac{1}{c^{2}}\cdot \frac{1}{32\pi ^{2}\varepsilon _{0}}\cdot \frac{q^{2}}{R_{0}^{4}}\cdot \frac{4}{3}\pi R_{0}^{3}=-\frac{1}{c^{2}}\cdot \frac{1}{8\pi \varepsilon _{0}}\cdot \frac{q^{2}} {R_{0}}\cdot \frac{1}{3}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{W_{E}}{c^{2}}
Здесь V - объём пространства. ограничиваемый сферой

Суммарный импульс, связанный с существованием электрического поля сферы
\vec{p}_{\Sigma}=\frac{4}{3}\cdot \frac{W_{E}}{c^{2}}\cdot \vec{u}- \frac{1}{3}\cdot \frac{W_{E}}{c^{2}} \cdot \vec{u} = \frac{W_{E}}{c^{2}}\cdot \vec{u}
Выполняется соотношение СТО
m_{\Sigma }= m_{\sigma }+m_{E}=\frac{W_{E}}{c^{2}}

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32981
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Задачка из задачника. Парадокс однако

Номер сообщения:#9   morozov » Вт мар 09, 2010 21:57

Масса, зависящая от растягивающих напряжений в материале сферы
m_{\sigma}=-\frac{1}{c^{2}}\cdot \ w_{E}\cdot V=-\frac{1}{c^{2}}\cdot \frac{1}{32\pi ^{2}\varepsilon _{0}}\cdot \frac{q^{2}}{R_{0}^{4}}\cdot \frac{4}{3}\pi R_{0}^{3}=-\frac{1}{c^{2}}\cdot \frac{1}{8\pi \varepsilon _{0}}\cdot \frac{q^{2}} {R_{0}}\cdot \frac{1}{3}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{W_{E}}{c^{2}}
Вот тут помедленнее...m_{\sigma}=-\frac{1}{c^{2}}\cdot \ w_{E}\cdot V это откуда?
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Z
Сообщения: 465
Зарегистрирован: Пт дек 04, 2009 13:07

Re: Задачка из задачника. Парадокс однако

Номер сообщения:#10   Z » Ср мар 10, 2010 18:04

Для макроскопического тела,скорость \vec{u} движения которого мала по сравнению
со скоростью света, для плотности потока энергии \vec{S} известно приближенное
равенство
\vec{S}=(w+ \sigma )\cdot \vec{u}
w - плотность энергии покоя
\sigma - тензор напряжений, - симметричный тензор второго ранга

Так как \frac{\vec{S}}{c^{2}} - плотность импульса, плотность массы будет
\rho_{V}=\frac{w}{c^{2}}+\frac{\sigma }{c^{2}}=\rho _{V}^{w}+\rho _{V}^{\sigma }
\rho _{V}^{w }- плотность инертной массы, зависящая от плотности энергии покоя
\rho _{V}^{\sigma }- плотность инертной массы, зависящая от тензора напряжений

Инертная масса (симметричный тензор второго ранга)
M=\int \rho _{V}\cdot dV= \int\ \frac{w}{c^{2}} \cdot dV +\int \frac{\sigma }{c^{2}}\cdot dV =m^{w}+M^{\sigma }
Тензо-масса (симметричный тензор второго ранга)
M^{\sigma }=\begin{bmatrix}
M_{xx}^{\sigma } & M_{xy}^{\sigma }& M_{xz}^{\sigma } \\
M_{yx}^{\sigma }& M_{yy}^{\sigma }& M_{yz}^{\sigma } \\
M_{zx}^{\sigma }& M_{zy}^{\sigma }& M_{zz}^{\sigma }
\end{bmatrix}
Компоненты тензо-массы
M_{ij}^{\sigma }= \frac{1}{c^{2}}\cdot \int \sigma _{ij}\cdot dV \: ,\: \: (i,j = x,y,z)
Если рассмотреть сферический тонкостенный сосуд, наполненный несжимаемой жидкостью,
в которой создано давление \sigma =w_{E} , инертная масса, зависящая от давления
созданного в жидкости, будет положительной и равной
m_{\sigma }^{L}=\frac{1}{c^{2}}\cdot \int \sigma \cdot dV=\frac{1}{c^{2}}\cdot \sigma \cdot V
V - объём сферического сосуда
V=\frac{4}{3}\cdot \pi R_{0}^{3}
Из соображений симметрии следует, что тензо-масса, зависящая от созданных в материале сосуда напряжений,
будет отличатся от тензо-массы жидкости только лишь знаком.
m_{\sigma }=-\frac{1}{c^{2}}\cdot \sigma \cdot V=-\frac{1}{c^{2}}\cdot w_{E}\cdot V
Т.о. тензо-масса сферы, которая возникает из-за действия пондеромоторных электрических сил,
будет отрицательной, и скомпенсирует поэтому избыточную инертность электрического поля
таким образом, чтобы выполнялось соотношение СТО между энергией электрического поля и суммарной
массой m_{\Sigma }=m_{\sigma }+m_{E} , возникающей из-за существования электрического поля сферы.

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32981
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Задачка из задачника. Парадокс однако

Номер сообщения:#11   morozov » Чт мар 11, 2010 14:08

Неплохо... и напоминает, то, что проделал я о этому поводу, хотя есть ощущение, что меня обманывают.... непонятно куда делась упругая инертная масса...я сегодня сильно не в форме и голова забита пустяками...

Может пообщаемся приватно? ПО телефону например? Скайп? Лично?

...прямо такое впечатление, что Вы читали мою недоопубликованную статью... некоторые фразы почти совпадают, хотя вроде у меня все не так.
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32981
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Задачка из задачника. Парадокс однако

Номер сообщения:#12   morozov » Чт мар 11, 2010 14:13

замечу, что работа сил любой природы собравшей заряды из бесконечности на поверхность шара в точности равна энергии
электрического поля...
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Z
Сообщения: 465
Зарегистрирован: Пт дек 04, 2009 13:07

Re: Задачка из задачника. Парадокс однако

Номер сообщения:#13   Z » Чт мар 11, 2010 21:42

непонятно куда делась упругая инертная масса...
Если совсем точно всё рассматривать, можно её добавить
m_{F}+m_{\Sigma }=\frac{W_{F}}{c^{2}}+\frac{W_{E}}{c^{2}}
W_{F} - энергия упругих деформаций
m_{F} - масса, связанная с энергией упругих деформаций
m_{\Sigma }=(m_{\sigma }+m_{E}) - масса, связанная с энергией электрического поля

Просто, если взять к примеру, стержень, и сжать его вдоль оси так, чтобы в стержне возникли напряжения \sigma ,
энергия деформации будет
W_{F}=\int \frac{\sigma ^{2}}{2E}\cdot dV=\frac{\sigma ^{2}}{2E}\cdot V
E - модуль упругости
V - объём стержня

Масса, связанная с энергией упругих деформаций стержня
m_{F}=\frac{1}{c^{2}}\cdot \frac{\sigma ^{2}}{2E}\cdot V
Комонента тензо-массы стержня, в направлении его оси сжатия
m_{\sigma}=\frac{1}{c^{2}}\cdot\sigma \cdot V
Отношение масс
\alpha =\frac{m_{F}}{m_{\sigma }}=\frac{\sigma }{2E}
Если взять очень прочный стальной стержень
\sigma=4\cdot 10^{9}\Pi a
E=2\cdot 10^{11}\Pi a

Отношение масс будет
\alpha =\frac{4\cdot 10^{9}}{4\cdot 10^{11}} =0,01<<1
Поэтому, для случая реальной электрически заряженной сферы,
массу, связанную энергией упругих деформаций, можно не учитывать.
Может пообщаемся приватно? ПО телефону например? Скайп? Лично?
Можно попробовать. Скайп сегодня поставил (я в тольятти обитаю). Надо посмотреть как это работает.
Сообщениями по данной теме предлагаете обмениваться через "личные" : by morozov и by Z ?
Или просто по е-почте ?
...прямо такое впечатление, что Вы читали мою недоопубликованную статью... некоторые фразы почти совпадают, хотя вроде у меня все не так.
Это хороший знак (так сказал один гаишник). Напоминает спейс шаттл и буран.
Мне кажется, какое-то другое непротиворечивое решение-объяснение не связанное с тензо-массой не существует,
т.к. здесь всё один к одному само собой складывается.

Аватара пользователя
morozov
Сообщения: 32981
Зарегистрирован: Вт май 17, 2005 18:44
Откуда: с Уралу
Контактная информация:

Re: Задачка из задачника. Парадокс однако

Номер сообщения:#14   morozov » Чт мар 11, 2010 23:00

Можно попробовать. Скайп сегодня поставил (я в тольятти обитаю). Надо посмотреть как это работает.
Сообщениями по данной теме предлагаете обмениваться через "личные" : by morozov и by Z ?
Или просто по е-почте ?
да там видно будет... я пока заморочен есть еще чат. можно "выйти и поговорить" в реальном времени...
скайп это удобно.. то. что непонятно, можно дополнить жестами... и поговорить на халяву.
W_{F}=\int \frac{\sigma ^{2}}{2E}\cdot dV=\frac{\sigma ^{2}}{2E}\cdot V
Во-во... работа это путь на расстояние..(очень грубо говоря) очень полезно написать пределы интегрирования... и если написать пределы от a_0 до бесконечности получится в точности энергия электрического поля шарика а 1/3 у вас произошла от объема шарика....
С уважением, Морозов Валерий Борисович

Z
Сообщения: 465
Зарегистрирован: Пт дек 04, 2009 13:07

Re: Задачка из задачника. Парадокс однако

Номер сообщения:#15   Z » Пт мар 12, 2010 19:01

замечу, что работа сил любой природы собравшей заряды из бесконечности на поверхность шара в точности равна энергии
электрического поля...
"Закон сохранения энергии как всеобщий закон природы предполагается данным..." - цитирую из учебника
Во-во... работа это путь на расстояние..(очень грубо говоря) очень полезно написать пределы интегрирования... и если написать пределы от a0 до бесконечности получится в точности энергия электрического поля шарика
Здесь мне непонятно. Нужны пояснения. У меня приведена формула для одноосного нагруженного состояния стержня, просто как пример, для того чтобы показать, что в реальном случае тензо-масса стержня намного больше, чем масса связанная с энергией упругой деформации накопленной в стержне.
... а 1/3 у вас произошла от объема шарика....
Положительное 1/3 происходит от вклада тензора натяжений электрического поля, при интегрировании по всему объёму, занимаемому полем.

Отрицательное -1/3 происходит от вклада тензора напряжений в материале сферической оболочки, при интегрировании по всему объёму материала сферической оболочки.

Непосредственный расчёт по объёму оболочки более громоздкий, чем расчет из соображений симметрии, исходя из объёма пространства ограничиваемого оболочкой - т.е. шарового объёма.

Здесь, как мне кажется, работает принцип равновесия.

Если в одной части замкнутой системы существует тензо-масса одного знака, в другой части системы должна существовать равная ей по величине тензо-масса противоположного знака.

Например, если взять две соосных трубы и соединить их таким образом, чтобы в одной трубе возникли растягивающие напряжения, а в другой - напряжения сжатия, то положительная тензо-масса сжатой трубы скомпенсируется отрицательной тензо-массой растянутой трубы.

В результате, тензо-масса системы будет нулевой. А общая масса возрастет на величину, связанную с энергией упругой
деформации накопленной в системе.

Если возвратиться к тонкостенной электрически заряженной оболочке, то можно поступить следующим образом:
(процедура получения электрически заряженной оболочки)

Закачать в незаряженную оболочку абсолютно несжимаемую жидкость.

Масса жидкости станет больше на величину m_{\sigma }^{L}
Масса оболочки изменится на величину (m_{F}+m_{\sigma })=(m_{F}-m_{\sigma }^{L})

m_{\sigma } - тензо-масса оболочки, (m_{\sigma }+m_{\sigma }^{L}=0)
m_{F} - масса, связанная с энергией упругих деформаций оболочки

Постепенно уменьшать давление жидкости, одновременной проводя заряжание оболочки, для замены сил
давления жидкости электрическими пондеромоторными силами ( чтобы масса m_{F} не менялась)

В результате масса электрически заряженной оболочки будет отличатся от массы незаряженной на величину
m_{E}+m_{F}+m_{\sigma }
Всё, начал повторяться... Кажись пора закругляться...

Ответить

Вернуться в «Дискуссионный клуб / Debating-Society»